シリンダー（円柱）のクオシエント（商）でアンチポーダル（対心）ポイントたちを同定したものはメビウスバンド（帯）とホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メビウスバンド（帯）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）のユニバーサルプロパティを認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(S^1 \times [-1, 1]\)シリンダー（円柱）のクオシエント（商）でアンチポーダル（対心）ポイントたちを同定したものはメビウスバンド（帯）とホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
\(S^1 \times [-1, 1]\)シリンダー（円柱）のクオシエント（商）でアンチポーダル（対心）ポイントたちを同定したもの\((S^1 \times [-1, 1]) / \sim\)、ここで、\((e^{\theta i}, z) \sim (- e^{\theta i}, - z)\)、ここで、\(- \pi \lt \theta \le \pi\)、はメビウスバンド（帯）\(([0, 1] \times [0, 1]) / \sim\)、ここで、\((x, 0) \sim (1 - x, 1)\)、とホメオモーフィック（位相同形写像）である。
2: 証明
\((S^1 \times [-1, 1]) / \sim\)の各ポイントのユニークな代表を選択しよう。任意の\([(e^{\theta i}, z)]\)、ここで、\(z \neq 0\)、に対して、ユニークな代表を\(0 \lt z\)および\(- \pi \lt \theta \le \pi\)とする。任意の\([(e^{\theta i}, z)]\)、ここで、\(z = 0\)、に対して、ユニークな代表を\(z = 0\)および\(0 \le \theta \lt \pi\)とする。したがって、私たちは、シリンダー（円柱）の\(0 \le z \le 1\)部分で赤道の半分が取り除かれたもののみを考えればよい。私たちは常に、当該クオシエント（商）スペース（空間）の各ポイントをこのユニークな代表をとおして考えることにする。
\(([0, 1] \times [0, 1]) / \sim\)の各ポイントのユニークな代表を選択しよう。任意の\([(x, y)]\)、ここで、\(y = 0\)または\(y = 1\)、に対して、ユニークな代表を\(y = 0\)とする。したがって、私たちは、当該スクエア（正方形）の上辺を取り除いたもののみを考えればよい。私たちは常に、当該クオシエント（商）スペース（空間）の各ポイントをこのユニークな代表をとおして考えることにする。
以下のマップ（写像）を考えよう、つまり、\(f: (S^1 \times [-1, 1]) / \sim \rightarrow ([0, 1] \times [0, 1]) / \sim\)、\(\theta = \pi\)、それは、\(0 \lt z \le 1\)を含意する、の時は、\([(e^{\theta i}, z)] \mapsto [((1 / 2) (1 + z), 0)]\)、\(0 \le \theta \lt \pi\)、それは、\(0 \le z \le 1\)を含意する、の時は、\([(e^{\theta i}, z)] \mapsto [((1 / 2) (1 - z), \theta / \pi)]\)、\(- \pi \lt \theta \lt 0\)、それは、\(0 \lt z \le 1\)を含意する、の時は、\([(e^{\theta i}, z)] \mapsto [((1 / 2) (1 + z), \theta / \pi + 1)]\)。それは、ウェルデファインド（妥当な定義）である、なぜなら、私たちはユニークな代表たちをとおして考えているから、指定に重複はないし、それは、各ユニーク代表をユニーク代表へマップする。
\(f\)はインジェクティブ（単射）であることを証明しよう。もしも、\([(e^{\theta i}, z)] \neq [(e^{\theta' i}, z')]\)であれば、\(\theta \neq \theta'\)または(\(\theta = \theta'\)および\(z \neq z'\))。\(\theta \neq \theta'\)だと仮定しよう。一般性を失うことなく\(\theta' \lt \theta\)だと仮定しよう。以下のケースたちがある、1): \(\theta = \pi\)および\(0 \le \theta' \lt \pi\); 2): \(\theta = \pi\)および\(- \pi \lt \theta' \lt 0\); 3): \(0 \le \theta \lt \pi\)および\(0 \le \theta' \lt \pi\); 4): \(0 \le \theta \lt \pi\)および\(- \pi \lt \theta' \lt 0\); 5): \(- \pi \lt \theta \lt 0\)および\(- \pi \lt \theta' \lt 0\)。ケース1)に対して、\(\theta = \pi\)は\(0 \lt z\)を含意するから、\((1 / 2) (1 + z) \neq (1 / 2) (1 - z')\)、なぜなら、もしも、\((1 / 2) (1 + z) = (1 / 2) (1 - z')\)であれば、\(z + z' = 0\)、それは、不可能だろう、\(0 \le z'\)だから。ケース2)に対して、\(0 \neq \theta' / \pi + 1\)。ケース3)に対して、\(\theta / \pi \neq \theta' / \pi\)。ケース4)に対して、\(- \pi \lt \theta' \lt 0\)は\(0 \lt z'\)を含意するから、\((1 / 2) (1 - z) \neq (1 / 2) (1 + z')\)、なぜなら、もしも、\((1 / 2) (1 - z) = (1 / 2) (1 + z')\)であれば、\(z + z' = 0\)、それは、不可能だろう、\(0 \le z\)だから。ケース5)に対して、\(\theta / \pi + 1 \neq \theta' / \pi + 1\)。もしも、(\(\theta = \theta'\)および\(z \neq z'\))であれば、\(\theta = \pi\)である時は\((1 / 2) (1 + z) \neq (1 / 2) (1 + z')\)、\(0 \le \theta \lt \pi\)である時は、\(- \pi \lt \theta \lt 0\)および\((1 / 2) (1 - z) \neq (1 / 2) (1 - z')\)。
\(f\)はサージェクティブ（全射）であることを証明しよう。任意の\([(x, y)] \in ([0, 1] \times [0, 1]) / \sim\)に対して、以下のケースたちがある、1): \(y = 0\); 2): \(0 \lt y \lt 1\)。ケース1)に対して、\((x, 0)\)、ここで\(1 / 2 \lt x \le 1\)、は\(((1 / 2) (1 + z), 0) = (x, 0)\)、ここで、\(\theta = \pi\)および\(0 \lt z \le 1\)、によって実現される; \((x, 0)\)、ここで、\(0 \le x \le 1 / 2\)、は\(((1 / 2) (1 - z), \theta / \pi) = (x, 0)\)、ここで、\(\theta = 0\)および\(0 \le z \le 1\)、によって実現される。ケース2)に対して、\((x, y)\)、ここで、\(0 \le x \le 1 / 2\)、は\(((1 / 2) (1 - z), \theta / \pi) = (x, y)\)、ここで、\(0 \lt \theta \lt \pi\)および\(0 \le z \le 1\)、によって実現される; \((x, y)\)、ここで、\(1 / 2 \lt x \le 1\)、は\(((1 / 2) (1 + z), \theta / \pi + 1) = (x, y)\)、ここで、\(- \pi \lt \theta \lt 0\)および\(0 \lt z \le 1\)、によって実現される。
したがって、\(f\)はバイジェクション（全単射）である。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であることを証明しよう。
以下のクオシエント（商）マップ（写像）たちがある、\(\pi: S^1 \times [-1, 1] \rightarrow (S^1 \times [-1, 1]) / \sim\)および\(\pi': [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow ([0, 1] \times [0, 1]) / \sim\)。
\(\tilde{f}: S^1 \times [-1, 1] \rightarrow ([0, 1] \times [0, 1]) / \sim = f \circ \pi\)を定義しよう。\(f\)はコンティニュアス（連続）である、もしも、\(\tilde{f}\)がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、クウォシェント（商）マップ（写像）のユニバーサルプロパティによって。
任意のポイント\((e^{\theta i}, z) \in S^1 \times [-1, 1]\)および\([(x, y)] = \tilde{f} ((e^{\theta i}, z))\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{[(x, y)]}\)のことを考えよう。もしも、\(y \neq 0\)であてば、以下を満たすあるより小さなオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{[(x, y)]} \subseteq U_{[(x, y)]}\)、つまり、\(\pi'^{-1} (U'_{[(x, y)]}) = B_{(x, y)-\epsilon} \cap ([0, 1] \times [0, 1])\)、ここで、\(B_{(x, y)-\epsilon}\)はオープンボール（開球）（同様の記法がこれ以上の説明なく以下で使われる）で\(y\)コンポーネントが\(0, 1\)である任意のポイントを含まないもの 、がある。もしも、\(y = 0\)であれば、以下を満たすあるより小さなオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{[(x, y)]} \subseteq U_{[(x, y)]}\)、つまり、\(\pi'^{-1} (U'_{[(x, y)]}) = (B_{(x, 0)-\epsilon} \cap ([0, 1] \times [0, 1])) \cup (B_{(1 - x, 1)-\epsilon} \cap ([0, 1] \times [0, 1]))\)、がある。
もしも、\(\theta \neq 0, \pi\)、それは\(y \neq 0\)を含意する、であれば、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（近傍）\(U_{(e^{\theta i}, z)} = e^{i ((\theta - \delta, \theta + \delta))} \times ((z - \delta, z + \delta) \cap [-1, 1]) \subseteq S^1 \times [-1, 1]\)、ここで、\(e^{i ((\theta - \delta, \theta + \delta))}\)は\((\theta - \delta, \theta + \delta)\)の\(e^{i ?}\)ファンクション（関数）下のイメージ（像）（同様の記法がこれ以上の説明なしにこれ以降も使われる）、つまり、\(0, \pi \notin (\theta - \delta, \theta + \delta)\)、がある。すると、\(U_{(e^{\theta i}, z)}\)は全体として\(0 \le \theta \lt \pi\)エリア内か\(- \pi \lt \theta \lt 0\)エリア内にいる、したがって、\(\tilde{f} ((e^{\theta' i}, z'))\)はそこで\([((1 / 2) (1 - z'), \theta' / \pi)]\)または\([((1 / 2) (1 + z'), \theta' / \pi + 1)]\)、そして、\(\delta\)は以下を満たすように十分に小さく選択することができる、つまり、\(((1 / 2) (1 - z'), \theta' / \pi)\)または\(((1 / 2) (1 + z'), \theta' / \pi + 1)\)は\(B_{(x, y)-\epsilon} \cap ([0, 1] \times [0, 1])\)の中にいる、なぜなら、\((1 / 2) (1 - z'), \theta' / \pi, (1 / 2) (1 + z'), \theta' / \pi + 1\)は\(\theta', z'\)に関してコンティニュアス（連続）である、したがって、\(\tilde{f} (U_{(e^{\theta i}, z)}) \subseteq U'_{[(x, y)]}\)。
もしも、\(\theta = 0\)、それは\(y = 0\)を含意する、であれば、あるオープンネイバーフッド（近傍）\(U_{(e^{\theta i}, z)} = e^{i ((- \delta, \delta))} \times ((z - \delta, z + \delta) \cap [-1, 1]) \subseteq S^1 \times [-1, 1]\)がある。すると、\(U_{(e^{\theta i}, z)}\)は\(0 \le \theta \lt \pi\)エリアと\(- \pi \lt \theta \lt 0\)エリアから構成される、したがって、\(\tilde{f} ((e^{\theta' i}, z'))\)は、\(0 \le \theta' \lt \pi\)の時は\([((1 / 2) (1 - z'), \theta' / \pi)]\)で、\(- \pi \lt \theta' \lt 0\)の時は\([((1 / 2) (1 + z'), \theta' / \pi + 1)]\)、そして、\(\delta\)は以下を満たすように十分に小さく選ぶことができる、つまり、前者エリアには\(((1 / 2) (1 - z'), \theta' / \pi') \in (B_{(x, 0)-\epsilon} \cap ([0, 1] \times [0, 1]))\)、なぜなら、\((1 / 2) (1 - z'), \theta' / \pi\)は\(\theta', z'\)に関してコンティニュアス（連続）、そして、後者エリアには\(((1 / 2) (1 + z'), \theta' / \pi + 1) \in (B_{(1 - x, 1)-\epsilon} \cap ([0, 1] \times [0, 1]))\)、なぜなら、\((1 / 2) (1 + z) = 1 - x\)および\(0 / \pi + 1 = 1\)で、\((1 / 2) (1 + z'), \theta' / \pi + 1\)は\(\theta', z'\)に関してコンティニュアス（連続）、したがって、\(\tilde{f} (U_{(e^{\theta i}, z)}) \subseteq U'_{[(x, y)]}\)。
もしも、\(\theta = \pi\)、それは\(y = 0\)を含意する、であれば、あるオープンネイバーフッド（近傍）\(U_{(e^{\theta i}, z)} = e^{i ((\pi - \delta, \pi) \cup \{\pi\} \cup (-\pi, -\pi + \delta))} \times ((z - \delta, z + \delta) \cap [-1, 1]) \subseteq S^1 \times [-1, 1]\)がある。すると、\(U_{(e^{\theta i}, z)}\)は\(\theta = \pi\)エリア、\(0 \le \theta \lt \pi\)エリア、\(-\pi \lt \theta \lt 0\)エリアから構成される、したがって、\(\tilde{f} ((e^{\theta' i}, z'))\)は、\(\theta' = \pi\)の時は\([((1 / 2) (1 + z'), 0)]\)で、\(0 \le \theta' \lt \pi\)の時は\([((1 / 2) (1 - z'), \theta' / \pi)]\)で、\(-\pi \lt \theta' \lt 0\)の時は\([((1 / 2) (1 + z'), 0)]\)、そして、\(\delta\)は以下を満たすように十分に小さく選ぶことができる、つまり、第1のエリアには\(((1 / 2) (1 + z'), 0) \in (B_{(x, 0)-\epsilon} \cap ([0, 1] \times [0, 1]))\)、なぜなら、\((1 / 2) (1 + z')\)は\(z'\)に関してコンティニュアス（連続）、第2のエリアには\(((1 / 2) (1 - z'), \theta' / \pi) \in (B_{(1 - x, 1)-\epsilon} \cap ([0, 1] \times [0, 1]))\)、なぜなら、\((1 / 2) (1 - z) = 1 - x\)および\(\pi / \pi = 1\)で、\((1 / 2) (1 - z'), \theta' / \pi\)は\(\theta', z'\)に関してコンティニュアス（連続）、第3のエリアには\(((1 / 2) (1 + z'), \theta' / \pi + 1) \in (B_{(x, 0)-\epsilon} \cap ([0, 1] \times [0, 1]))\)、なぜなら、\((1 / 2) (1 + z'), \theta' / \pi + 1\)は\(theta', z'\)に関してコンティニュアス（連続）、したがって、\(\tilde{f} (U_{(e^{\theta i}, z)}) \subseteq U'_{[(x, y)]}\)。
したがって、\(\tilde{f}\)は\(S^1 \times [-1, 1]\)の任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である。
\(f^{-1}: ([0, 1] \times [0, 1]) / \sim \rightarrow (S^1 \times [-1, 1]) / \sim\)は、\(0 \le x \le 1 / 2\)の時は\([(x, y)] \mapsto [(e^{\pi y i}, 1 - 2x)]\)、\(1 / 2 \lt x \le 1\)かつ\(y = 0\)の時は\([(x, y)] \mapsto [(e^{\pi i}, 2x - 1)]\)、\(1 / 2 \lt x \le 1\)かつ\(0 \lt y \lt 1\)の時は\([(x, y)] \mapsto [(e^{\pi (y - 1) i}, 2x - 1)]\)。
\(\tilde{f^{-1}}: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow (S^1 \times [-1, 1]) / \sim = f^{-1} \circ \pi'\)を定義しよう。\(f^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、もしも、\(\tilde{f^{-1}}\)がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、クウォシェント（商）マップ（写像）のユニバーサルプロパティによって。
任意のポイント\((x, y) \in [0, 1] \times [0, 1]\)および\([(e^{\theta i}, z)] = \tilde{f^{-1}} ((x, y))\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{[(e^{\theta i}, z)]}\)のことを考えよう。もしも、\(z \neq 0\)であれば、以下を満たすより小さなあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{[(e^{\theta i}, z)]} \subseteq U_{[(e^{\theta i}, z)]}\)、つまり、\(\pi^{-1} (U'_{[(e^{\theta i}, z)]}) = ((e^{i ((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon))}) \times ((z - \epsilon, z + \epsilon) \cap [-1, 1])) \cup ((e^{i ((\theta - \pi - \epsilon, \theta - \pi + \epsilon))}) \times ((-z - \epsilon, -z + \epsilon) \cap [-1, 1]))\)、ここで、\((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon)、(\theta - \pi - \epsilon, \theta - \pi + \epsilon)\)は本当には\((-\pi, \pi]\)の中にいるように移動され、\(0 \notin (z - \epsilon, z + \epsilon)\)、がある。もしも、\(z = 0\)であれば、以下を満たすあるより小さなオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{[(e^{\theta i}, z)]} \subseteq U_{[(e^{\theta i}, z)]}\)、つまり、\(\pi^{-1} (U'_{[(e^{\theta i}, z)]}) = ((e^{i ((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon))}) \times (- \epsilon, \epsilon)) \cup ((e^{i ((\theta - \pi - \epsilon, \theta - \pi + \epsilon))}) \times (- \epsilon, \epsilon))\)、ここで、\((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon), (\theta - \pi - \epsilon, \theta - \pi + \epsilon)\)は本当には\((-\pi, \pi]\)の中にいるように移動される、がある。
もしも、\(0 \le x \lt 1 / 2\)、それは\(z \neq 0\)を含意する、であれば、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(x, y)} = B_{(x, y)-\delta} \cap ([0, 1] \times [0, 1]) \subseteq [0, 1] \times [0, 1]\)、つまり、\(1 / 2 \notin (x - \delta, x + \delta)\)、がある。すると、\(U_{(x, y)}\)は全体として\(0 \le x \le 1 / 2\)エリア内にいる、したがって、\(\tilde{f^{-1}} ((x', y'))\)はそこで\([(e^{\pi y' i}, 1 - 2 x')]\)、そして、\(\delta\)は以下を満たすように十分に小さく選ぶことができる、つまり、\((e^{\pi y' i}, 1 - 2 x')\)は\((e^{i ((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon))}) \times ((z - \epsilon, z + \epsilon) \cap [0, 1])\)の中にいる、なぜなら、\(e^{\pi y' i}, 1 - 2 x'\)は\(x', y'\)に関してコンティニュアス（連続）である、したがって、\(\tilde{f^{-1}} (U_{(x, y)}) \subseteq U'_{[(e^{\theta i}, z)]}\)。
もしも、\(1 / 2 \lt x \le 1\)および\(0 \lt y \le 1\)、それは\(z \neq 0\)を含意する、であれば、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(x, y)} = B_{(x, y)-\delta} \cap ([0, 1] \times [0, 1]) \subseteq [0, 1] \times [0, 1]\)、つまり、\(1 / 2 \notin (x - \delta, x + \delta)\)および\(0 \notin (y - \delta, y + \delta)\)、がある。すると、\(U_{(x, y)}\)は全体として\(1 / 2 \lt x \le 1\)かつ\(0 \lt y \le 1\)エリア内にいる、したがって、\(\tilde{f^{-1}} ((x', y'))\)はそこで\([(e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1)]\)、そして、\(\delta\)は以下を満たすように十分に小さく選ぶことができる、つまり、\((e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1)\)は\((e^{i ((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon))}) \times ((z - \epsilon, z + \epsilon) \cap [0, 1])\)の中にいる、なぜなら、\(e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1\)は\(x', y'\)に関してコンティニュアス（連続）である、したがって、\(\tilde{f^{-1}} (U_{(x, y)}) \subseteq U'_{[(e^{\theta i}, z)]}\)。
もしも、\(1 / 2 \lt x \le 1\)かつ\(y = 0\)、それは\(z \neq 0\)を含意する、であれば、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(x, y)} = B_{(x, y)-\delta} \cap ([0, 1] \times [0, 1]) \subseteq [0, 1] \times [0, 1]\)、つまり、\(1 / 2 \notin (x - \delta, x + \delta)\)、がある。すると、\(U_{(x, y)}\)は\(1 / 2 \lt x \le 1\)かつ\(y = 0\)エリアと\(1 / 2 \lt x \le 1\)かつ\(0 \lt y \le 1\)エリア内にいる、したがって、\(\tilde{f^{-1}} ((x', y'))\) は、\(y' = 0\)の時は\([(e^{\pi i}, 2 x' - 1)]\)で、\(0 \lt y' \le 1\)の時は\([(e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1)]\)、そして、\(\delta\)は以下を満たすように十分に小さく選ぶことができる、つまり、\((e^{\pi i}, 2 x' - 1)\)は\((e^{i ((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon))}) \times ((z - \epsilon, z + \epsilon) \cap [0,1])\)の中にいる、なぜなら、\(2 x' - 1\)は\(x'\)に関してコンティニュアス（連続）、そして、\((e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1)\)は\((e^{i ((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon))}) \times ((z - \epsilon, z + \epsilon) \cap [0, 1])\)の中にいる、なぜなら、\(e^{\pi (0 - 1) i} = e^{- \pi i} = e^{\pi i}\)で\(e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1\)は\(x', y'\)に関してコンティニュアス（連続）である、したがって、\(\tilde{f^{-1}} (U_{(x, y)}) \subseteq U'_{[(e^{\theta i}, z)]}\)。
もしも、\(x = 1 / 2\)かつ\(0 \lt y \le 1\)、それは\(z = 0\)を含意する、であれば、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(x, y)} = B_{(x, y)-\delta} \subseteq [0, 1] \times [0, 1]\)、つまり、\(0 \notin (y - \delta, y + \delta)\)、がある。すると、\(U_{(x, y)}\)は\(0 \le x \le 1 / 2\)エリアと\(1 / 2 \lt x \le 1\)かつ\(0 \lt y \le 1\)エリアから構成される、したがって、\(\tilde{f^{-1}} ((x', y'))\)は、\(x' \le 1 / 2\)の時は\([(e^{\pi y i}, 1 - 2 x')]\)で、\(1 / 2 \lt x'\)の時は\([(e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1)]\)で、\(\delta\)は以下を満たす十分に小さく選ぶことができる、つまり、\((e^{\pi y' i}, 1 - 2 x')\)は\((e^{i ((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon))}) \times (z - \epsilon, z + \epsilon)\)の中にいる、なぜなら、\(e^{\pi y' i}, 1 - 2 x'\)は\(x', y'\)に関してコンティニュアス（連続）である、そして、\((e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1)\)は\((e^{i ((\theta - \pi - \epsilon, \theta - \pi + \epsilon))}) \times ((-z - \epsilon, -z + \epsilon) \cap [0, 1])\)の中にいる、なぜなら、\(e^{\pi (y - 1) i} = e^{(\pi y - \pi) i} = e^{(\theta - \pi) i}\)および\(2 x - 1 = 0 = -z\)で\(e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1\)は\(x', y'\)に関してコンティニュアス（連続）である、したがって、\(\tilde{f^{-1}} (U_{(x, y)}) \subseteq U'_{[(e^{\theta i}, z)]}\)。
もしも、\(x = 1 / 2\)かつ\(y = 0\)、それは\(z = 0\)を含意する、であれば、あるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(x, y)} = B_{(x, y)-\delta} \cap ([0, 1] \times [0, 1]) \subseteq [0, 1] \times [0, 1]\)がある。すると、\(U_{(x, y)}\)は\(0 \le x \le 1 / 2\)エリア、\(1 / 2 \lt x \le 1\)かつ\(y = 0\)エリア、\(1 / 2 \lt x \le 1\)かつ\(0 \lt y \le 1\)エリアから構成される、したがって、\(\tilde{f^{-1}} ((x', y'))\)は、\(x' \le 1 / 2\)の時は\([(e^{\pi y' i}, 1 - 2 x')]\)、\(1 / 2 \lt x'\)かつ\(y' = 0\)の時は\([(e^{\pi i}, 2 x' - 1)]\)、\(1 / 2 \lt x'\)かつ\(0 \lt y' \le 1\)の時は\([(e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1)]\)、そして、\(\delta\)は以下を満たすようにように十分に小さく選ぶことができる、つまり、\((e^{\pi y' i}, 1 - 2 x')\)は\((e^{i ((\theta - \epsilon, \theta + \epsilon))}) \times ((z - \epsilon, z + \epsilon) \cap [0, 1])\)の中にいる、なぜなら、\(e^{\pi y' i}, 1 - 2 x'\)は\(x', y'\)に関してコンティニュアス（連続）である、\((e^{\pi i}, 2 x' - 1)\)は\((e^{i ((\theta - \pi - \epsilon, \theta - \pi + \epsilon))}) \times ((-z - \epsilon, -z + \epsilon) \cap [0, 1])\)の中にいる、なぜなら、\(e^{\pi i} = e^{(- \pi) i} = e^{(\theta - \pi) i}\)および\(2 x - 1 = 0 = -z\)で\(2 x' - 1\)は\(x', y'\)に関してコンティニュアス（連続）である、\((e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1)\)は\((e^{i ((\theta - \pi - \epsilon, \theta - \pi + \epsilon))}) \times ((-z - \epsilon, -z + \epsilon) \cap [0, 1])\)の中にいる、なぜなら、\(e^{\pi (y - 1) i} = e^{(\pi y - \pi) i} = e^{(\theta - \pi) i}\)および\(2 x - 1 = 0 = -z\)で\(e^{\pi (y' - 1) i}, 2 x' - 1\)は\(x', y'\)に関してコンティニュアス（連続）である、したがって、\(\tilde{f^{-1}} (U_{(x, y)}) \subseteq U'_{[(e^{\theta i}, z)]}\)。
したがって、\(\tilde{f^{-1}}\)は\([0, 1] \times [0, 1]\)の任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である。
3: 注1
メビウスバンド（帯）またはもっと一般に任意の3次元ユークリディアンスペース（空間）内にエンベッデッドな（埋め込まれた）任意の2次元トポロジカルスペース（空間）に関する落とし穴は、スペース（空間）は表と裏を持つと考えること、それは当該スペース（空間）がオリエンテッドか否かの問題ではなく。表にあるポイントと裏に対応するポイントが2つの異なるポイントたちとしてあるとイメージすることだ。
その誤解は起こりがちなのは、ある1枚の紙を当該スペース（空間）としてイメージするからのようだ。その1枚の紙は表と裏を持っており、表にあるカーブを描く時、裏は空白で、裏には別のカーブを描ける。
その1枚の紙が表と裏を持つのは、それは実際には厚みを持つ3次元オブジェクトだからだ。
メビウスバンド（帯）の紙モデルを持っているときのある落とし穴は、メビウスバンド（帯）上にあるカーブを描く時、当該カーブは、当該紙片上の開始ポイントに戻って初めて、開始ポイントに戻ると考えることである。違う、当該紙片上の当該カーブが開始ポイントの裏のポイントへ行った時、当該カーブは当該スペース（空間）上で既に開始ポイントへ戻ったのだ。
4: 対応たちを理解する
私たちは既に、メビウスバンド（帯）とシリンダー（円柱）のクウォシェント（商）の間のポイントたちの対応たちをフォーミュラとして知っているが、直感的に言って、その対応たちは即座に明らかというわけではない。例えば、メビウスバンド（帯）上のあるサークル（円）はシリンダー（円柱）のクウォシェント（商）上のどこにあるのだろう？
私たちは、シリンダー（円柱）のクウォシェント（商）を、"証明"内に挙げられた、ポイントたちのユニークな代表たち、を通して考える、それが意味するのは、私たちは、シリンダー（円柱）の\(0 \le z \le 1\)部分で赤道の半分が取り除かれたもののみを考えればよい、ということ。
メビウスバンド（帯）のボーダー（境界）は実のところ単1のサークル（円）であり、それは、シリンダー（円柱）上の\(z = 1\)サークル（円）に対応するように思えるが、本当にそうなのか？
\(f^{-1}\)のフォーミュラたちによると、メビウスバンド（帯）上の\(x = 0\)はシリンダー（円柱）上の\((e^{y \pi i}, 1)\)に対応する、それは確かにシリンダー（円柱）の\(z = 1\)サークル（円）の半分である、そして、メビウスバンド（帯）上の\(x = 1\)はシリンダー（円柱）上の\((e^{(y - 1) \pi i}, 1)\)に対応する、それは確かにシリンダー（円柱）の\(z = 1\)サークル（円）の残りの半分に対応する。したがって、はい。
メビウスバンド（帯）上の中央サークル（円）はシリンダー（円柱）上のどこにあるのか？
メビウスバンド（帯）上のそれは\(x = 1 / 2\)である。それはそんなに短いのか？つまり、それはボーダー（境界）の半分に思える。はい、"注1"にて注意喚起されたとおり、中央サークル（円）は、当該カーブが紙片上で開始ポイントの裏に来た時に開始ポイントへ戻ったのであって、紙片上の開始ポイントへ来た時ではない。したがって、それは、紙片上では閉じていないが、スペース（空間）上では閉じているのだ。
いずれにせよ、\(f^{-1}\)のフォーミュラたちによると、メビウスバンド（帯）上の\(x = 1 / 2\)はシリンダー（円柱）上の\((e^{y \pi i}, 0)\)に対応する。したがって、メビウスバンド（帯）上の中央サークル（円）はシリンダー（円柱）上の\(z = 0\)における半円であり、それは、実のところクウォシェント（商）スペース（空間）上で閉じている、なぜなら、当該サークル（円）上の対心ポイントたちは同定されている。
メビウスバンド（帯）上の'非中央'サークル（円）はシリンダー（円柱）上のどこにいるのか？
例えば、メビウスバンド（帯）上の\(x = 1 / 4, 3 / 4\)サークル（円）のことを考えよう。注意として、それは中央サークル（円）のおよそ2倍の長さを持つが、その理由は、'非中央'サークル（円）は開始ポイントを紙片の裏上で通過せず、紙片の表上でのみ開始ポイントへ戻るからだ。
\(f^{-1}\)のフォーミュラたちによると、メビウスバンド（帯）上の\(x = 1 / 4\)はシリンダー（円柱）上の\((e^{y \pi i}, 1 / 2)\)に対応し、メビウスバンド（帯）上の\(x = 3 / 4\)はシリンダー（円柱）上の\((e^{(y - 1) \pi i}, 1 / 2)\)に対応する。したがって、メビウスバンド（帯）上の'非中央'サークル（円）はシリンダー（円柱）上の\(z = 1 / 2\)におけるサークル（円）である。
当該'非中央'カーブがねじ曲げられて紙片の裏上で開始ポイントへ戻るようにされたどうだろうか？
メビウスバンド（帯）上の、中央サークル（円）へ垂直な、ボーダー（境界）上の2ポイントたちを接続するラインセグメント（線分）のことを考えよう（このラインセグメント（線分）のことを私たちは'クロスラインセグメント（線分）'と呼ぼう）。
例えば、それは、\(y = 1 / 2\)。
\(f^{-1}\)のフォーミュラたちによると、メビウスバンド（帯）上の\(y = 1 / 2\)はシリンダー（円柱）上の、\(0 \le x \le 1 / 2\)であるところは\((e^{(1 / 2) \pi i}, 1 - 2 x)\)に対応し、\(1 / 2 \lt x \le 1\)であるところは\((e^{- (1 / 2) \pi i}, 2 x - 1)\)に対応する。したがって、メビウスバンド（帯）上の当該クロスラインセグメント（線分）は、シリンダー（円柱）上で、あるボーダー（境界）ポイントで開始し、垂直に下方へ\(z = 0\)へ行き、\(z = 0\)サークル（円）の対心ポイントへジャンプし、垂直に上方へボーダー（境界）サークル（円）上の開始ポイントに対心なボーダー（境界）上のポイントへ行く。
紙片の裏上で、'非中央'カーブをねじ曲げて開始ポイントへ戻るようにするために、私たちは、\(z = 1 / 2\)の半円を取り、この半円の終点を開始ポイントへ、当該クロスラインセグメント（線分）の当該部分を介して開始ポイントへ接続できる。
シリンダー（円柱）のクウォシェント（商）スペース（空間）が本当にオリエンテッドでないことを見よう。
メビウスバンド（帯）の中央サークル（円）のことを考えよう。シリンダー（円柱）上の\(z = 0\)半円の開始ポイント（\(\theta = 0\)）に、ベーシス（基底）で、第1ベクトルは半円に沿い第2ベクトルはz軸に平行であるものを持とう。すると、終点(\(\theta = \pi\))、それは実際にはクウォシェント（商）スペース（空間）上において開始ポイントと同じポイントである、において、第1ベクトルは開始ポイントにおいて同じベクトルに反射して戻り、第2ベクトルは開始ポイントにおいて逆ベクトルに反射して戻る。
注意として、メビウスバンド（帯）上の任意の'非中央'サークル（円）に対しては、ベーシス（基底）は元のベーシス（基底）へ戻る、それは妙なことでは全くない、なぜなら、それは、紙片の表上で開始ポイントへ戻ることに相当するから。当該'非中央'カーブを紙片の裏上で閉じるようにするには、当該カーブはねじ曲げられなければならない、それが意味するのは、当該カーブは\(z = 0\)サークル（円）を横切るということであって、それがベーシス（基底）を逆転させるのである。
5: 注2
ボーダー（境界）上のあるポイントをボーダー（境界）上の別のポイントへ接続する任意のカーブのことを考える時、2つのタイプたちがある: 1) 当該カーブは一部のポイントたちを閉じ込める; 2) 当該カーブはどのポイントも閉じ込めない。"閉じ込める"が意味するのは、当該スペース（空間）上の何らかの2ポイントたちは、当該カーブを横切らないパスでパスコネクト（接続）されることができない、ということ。
以下は、一部のポイントたちを閉じ込める例だ。
注意として、それは、当該2ポイントたちが同じ\(x = 0\)部分上にあるからではない: 以下も、一部のポイントたちを閉じ込める。
以下は、どのポイントも閉じ込めない例だ。
それは、真っ直ぐな（非メビウス）バンド（帯）に対しては明らかであるように思われる。真っ直ぐなバンド（帯）は2つのボーダー（境界）たちを持ち、直感的には、同一ボーダー（境界）上の2ポイントたちをコネクト（接続）するカーブは一部のポイントたちを閉じ込め、他方で、別々のボーダー（境界）たち上の2ポイントたちをコネクト（接続）するカーブは何らのポイントも閉じ込めない。
しかし、メビウスバンド（帯）は1つしかボーダー（境界）を持たず、カーブたちはその点においては区別はない、しかし、それでも、一部のカーブたちは一部のポイントたちを閉じ込め、その他のカーブたちは何らのポイントも閉じ込めない。
