トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）上でコンパクトであるものはサブスペース（部分空間）でコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブスペース（部分空間）\(T_1 \subseteq T\)に対して、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_1\)で\(T\)上でコンパクトであるものは\(T_1\)上でコンパクトである。
2: 証明
\(S\)の\(T_1\)上ではの任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_\alpha\}\)に対して、\(U_\alpha = U'_\alpha \cap T_1\)、ここで、\(U'_\alpha\)は\(T\)上でオープン（開）である。\(\{U'_\alpha\}\)は\(S\)の\(T\)上でのオープンカバー（開被覆）である。\(\{U'_\alpha\}\)の有限サブカバー\(\{U'_j\}\)がある。対応する\(\{U_j\}\)は\(\{U_\alpha\}\)の有限サブカバーである、なぜなら、\(S \subseteq \cup_j U'_j\)であるから、\(S \subseteq (\cup_j U'_j) \cap T_1 = \cup_j (U'_j \cap T_1) = \cup_j U_j\)。
