302: トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）上でコンパクトであるものはサブスペース（部分空間）でコンパクトである

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トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）上でコンパクトであるものはサブスペース（部分空間）でコンパクトであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブスペース（部分空間）$T_1\subseteq T$に対して、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_1$で$T$上でコンパクトであるものは$T_1$上でコンパクトである。

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2: 証明

$S$の$T_1$上ではの任意のオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }\}$に対して、$U_{\alpha }=U_{\alpha }^{\prime }\cap T_1$、ここで、$U_{\alpha }^{\prime }$は$T$上でオープン（開）である。$\{U_{\alpha }^{\prime }\}$は$S$の$T$上でのオープンカバー（開被覆）である。$\{U_{\alpha }^{\prime }\}$の有限サブカバー$\{U_j^{\prime }\}$がある。対応する$\{U_j\}$は$\{U_{\alpha }\}$の有限サブカバーである、なぜなら、$S\subseteq {\cup }_j{U}_j^{\prime }$であるから、$S\subseteq ({\cup }_j{U}_j^{\prime })\cap T_1={\cup }_j(U_j^{\prime }\cap T_1)={\cup }_j{U}_j$。

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参考資料

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