301: トポロジカルスペース（空間）およびサブスペース（部分空間）上のポイントに対して、ポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）である

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トポロジカルスペース（空間）およびサブスペース（部分空間）上のポイントに対して、ポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブスペース（部分空間）$T_1\subseteq T$、任意のポイント$p\in T_1$、$p$の$T$上の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$に対して、$N_p\cap T_1$は$p$の$T_1$上のネイバーフッド（近傍）である。

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2: 証明

$p\in N_p\cap T_1$。$p$の$T$上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq N_p$がある。$U_p\cap T_1\subseteq N_p\cap T_1$は$p$の$T_1$上のオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、$p\in U_p\cap T_1$であり、$U_p\cap T_1$は$T_1$上でオープン（開）だから。

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参考資料

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