303: ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトである

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ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題.
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）$T_1$に対して、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）$T_2\subseteq T_1$はローカルにコンパクトである。

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2: 証明

任意のポイント$p\in T_2$、$p$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T_2$に対して、$p$の以下を満たすあるコンパクトネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T_2$、つまり、$N_p\subseteq U_p$、があるか？

$U_p=U_p^{\prime }\cap T_2$、ここで、$U_p^{\prime }\subseteq T_1$は$T_1$上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。$p\in U_p^{\prime }$、したがって、$U_p^{\prime }$は$p$の$T_1$上のオープン（開）ネイバーフッド（近傍）である。$p$の以下を満たす満たすあるコンパクトネイバーフッド（近傍）$N_p^{\prime }\subseteq T_1$、つまり、$N_p^{\prime }\subseteq U_p^{\prime }$、がある、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義によって。

$N_p:=N_p^{\prime }\cap T_2\subseteq T_2$を定義しよう。$N_p$は$p$の$T_2$上のネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。$N_p\subseteq U_p$、なぜなら、$N_p^{\prime }\subseteq U_p^{\prime }$および$N_p=N_p^{\prime }\cap T_2\subseteq U_p^{\prime }\cap T_2=U_p$。

$N_p$は$T_2$上でコンパクトであるか？$N_p^{\prime }$はコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。$N_p$は$N_p^{\prime }$上でクローズド（閉）である、したがって、$N_p^{\prime }$上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。したがって、$N_p$は$T_1$上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。したがって、$N_p$は$T_2$上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。

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参考資料

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