ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題.
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)に対して、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）\(T_2 \subseteq T_1\)はローカルにコンパクトである。
2: 証明
任意のポイント\(p \in T_2\)、\(p\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T_2\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるコンパクトネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T_2\)、つまり、\(N_p \subseteq U_p\)、があるか？
\(U_p = U'_p \cap T_2\)、ここで、\(U'_p \subseteq T_1\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。\(p \in U'_p\)、したがって、\(U'_p\)は\(p\)の\(T_1\)上のオープン（開）ネイバーフッド（近傍）である。\(p\)の以下を満たす満たすあるコンパクトネイバーフッド（近傍）\(N'_p \subseteq T_1\)、つまり、\(N'_p \subseteq U'_p\)、がある、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義によって。
\(N_p := N'_p \cap T_2 \subseteq T_2\)を定義しよう。\(N_p\)は\(p\)の\(T_2\)上のネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。\(N_p \subseteq U_p\)、なぜなら、\(N'_p \subseteq U'_p\)および\(N_p = N'_p \cap T_2 \subseteq U'_p \cap T_2 = U_p\)。
\(N_p\)は\(T_2\)上でコンパクトであるか？\(N'_p\)はコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。\(N_p\)は\(N'_p\)上でクローズド（閉）である、したがって、\(N'_p\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。したがって、\(N_p\)は\(T_1\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。したがって、\(N_p\)は\(T_2\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。
