プロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）はハウスドルフであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）はハウスドルフであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のプロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）\(S^d/~\)はハウスドルフである。
2: 証明
\(f\)が、任意のアンチポーダル（対心）ポイントたちペアを対応するイクイバレンス（等値）クラスへマップ（写像）するクウォシェント（商）マップ（写像）\(f: S^d \rightarrow S^d/~\)であるとしよう。以下を満たす任意のポイントたち\(p_1, p_2 \in S^d/~\)、つまり、\(p_1 \neq p_2\)、に対して、以下を満たす\(p'_1, p'_2 \in S^d\)、つまり、\(f (p'_i) = p_i\)および\(p'_1 \neq p'_2\)、およびある半球（境界を含まない）（"半球"は以後常に境界を含まないものを意味する）でその上に\(p'_1\)と\(p'_2\)があるものがある、なぜなら、\(p'_1\)と\(p'_2\)を通過するジェオデシック（測地線）があり、当該ジェオデシック（測地線）の中間点を当該半球のポール（極）として取ることができる（\(p'_i\)はボーダー（境界）上にない、\(p'_1\)と\(p'_2\)はアンチポーダル（対心）でないから）。
\(p'_i\)の周りに当該半球内に包含されたディスジョイント（互いに素な）オープンボール（開球）たち\(B'_{p'_i-\epsilon}\)がある（それを、ここでは詳細に証明しないが、直感的には明らかだろう）。\(U_{p_i} := f (B'_{p'_i-\epsilon})\)。\(p_i \in U_{p_i}\)。\(f^{-1} (U_{p_i}) = B'_{p'_i-\epsilon} \cup B''_{p'_i-\epsilon}\)、ここで、\(B''_{p'_i-\epsilon}\)は\(B'_{p'_i-\epsilon}\)のアンチポーダル（対心）イメージ（像）。\(B''_{p'_i-\epsilon}\)は\(S^d\)上でオープン（開）である、なぜなら、それは\(p'_i\)のアンチポーダル（対心）ポイントの周りのオープンボール（開球）である、したがって、\(f^{-1} (U_{p_i})\)は\(S^d\)上でオープン（開）である、したがって、\(U_{p_i}\)は\(S^d/~\)上でオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーの定義によって。\(U_{p_1} \cap U_{p_2} = \emptyset\)、明らかに。
