327: プロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）はハウスドルフである

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プロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）はハウスドルフであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、プロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）の定義を知っている。
• 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）はハウスドルフであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のプロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）$S^d/$はハウスドルフである。

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2: 証明

$f$が、任意のアンチポーダル（対心）ポイントたちペアを対応するイクイバレンス（等値）クラスへマップ（写像）するクウォシェント（商）マップ（写像）$f:S^d\to S^d/$であるとしよう。以下を満たす任意のポイントたち$p_1,p_2\in S^d/$、つまり、$p_1\ne p_2$、に対して、以下を満たす$p_1^{\prime },p_2^{\prime }\in S^d$、つまり、$f(p_i^{\prime })=p_i$および$p_1^{\prime }\ne p_2^{\prime }$、およびある半球（境界を含まない）（"半球"は以後常に境界を含まないものを意味する）でその上に$p_1^{\prime }$と$p_2^{\prime }$があるものがある、なぜなら、$p_1^{\prime }$と$p_2^{\prime }$を通過するジェオデシック（測地線）があり、当該ジェオデシック（測地線）の中間点を当該半球のポール（極）として取ることができる（$p_i^{\prime }$はボーダー（境界）上にない、$p_1^{\prime }$と$p_2^{\prime }$はアンチポーダル（対心）でないから）。

$p_i^{\prime }$の周りに当該半球内に包含されたディスジョイント（互いに素な）オープンボール（開球）たち$B_{p_i^{\prime }-ϵ}^{\prime }$がある（それを、ここでは詳細に証明しないが、直感的には明らかだろう）。$U_{p_i}:=f(B_{p_i^{\prime }-ϵ}^{\prime })$。$p_i\in U_{p_i}$。$f^{-1}(U_{p_i})=B_{p_i^{\prime }-ϵ}^{\prime }\cup B_{p_i^{\prime }-ϵ}^{″}$、ここで、$B_{p_i^{\prime }-ϵ}^{″}$は$B_{p_i^{\prime }-ϵ}^{\prime }$のアンチポーダル（対心）イメージ（像）。$B_{p_i^{\prime }-ϵ}^{″}$は$S^d$上でオープン（開）である、なぜなら、それは$p_i^{\prime }$のアンチポーダル（対心）ポイントの周りのオープンボール（開球）である、したがって、$f^{-1}(U_{p_i})$は$S^d$上でオープン（開）である、したがって、$U_{p_i}$は$S^d/$上でオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーの定義によって。$U_{p_1}\cap U_{p_2}=\mathrm{\varnothing }$、明らかに。

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参考資料

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