334: トポロジカルグループ（群）のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）である

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トポロジカルグループ（群）のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルグループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルグループ（群）のサブグループ（部分群）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）上のインバースマップ（逆写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）の任意のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルグループ（群）$T_1$、任意のサブグループ（部分群）$T_2\subseteq T_1$に対して、$T_2$のクロージャー（閉包）$\overline{T_2}$はサブグループ（部分群）である。

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2: 証明

それは、${\overline{T_2}}^{-1}\subseteq \overline{T_2}$および$\overline{T_2}\overline{T_2}\subseteq \overline{T_2}$ということである。

${\overline{T_2}}^{-1}\subseteq \overline{T_2}$であることを証明しよう。任意の$p\in {\overline{T_2}}^{-1}$に対して、$p\in \overline{T_2}$？$p^{-1}\in \overline{T_2}$。$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T_1$に対して、$p^{-1}\in {N_p}^{-1}$、しかし、任意のトポロジカルグループ（群）上のインバースマップ（逆写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題によって、${N_p}^{-1}$は$p^{-1}$の$T_1$上のネイバーフッド（近傍）である。$p^{-1}$が$T_2$のポイントであろうが$T_2$のアキューミュレーションポイント（集積点）であろうが、${N_p}^{-1}\cap T_2\ne \mathrm{\varnothing }$。したがって、あるポイント$p^{\prime }\in {N_p}^{-1}\cap T_2$があり、$p^{\prime -1}\in N_p\cap T_2$、したがって、$N_p\cap T_2\ne \mathrm{\varnothing }$。したがって、$p$は$T_2$のポイントであるか$T_2$のアキューミュレーションポイント（集積点）である。

$\overline{T_2}\overline{T_2}\subseteq \overline{T_2}$であることを証明しよう。任意のポイントたち$p_1,p_2\in \overline{T_2}$に対して、$p_1{p}_2\in \overline{T_2}$？マルチプリケーション（積）マップ（写像）$f:T_1\times T_1\to T_1$はトポロジカルグループ（群）の定義によってコンティニュアス（連続）であるので、$p_1{p}_2$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_{p_1{p}_2}\subseteq T_1$に対して、$⟨p_1,p_2⟩$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$N_{⟨p_1,p_2⟩}\subseteq T_1\times T_1$、つまり、$f(N_{⟨p_1,p_2⟩})\subseteq N_{p_1{p}_2}$、がある、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義によって。$⟨p_1,p_2⟩$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$N_{⟨p_1,p_2⟩}^{\prime }\subseteq N_{⟨p_1,p_2⟩}$があり、$N_{⟨p_1,p_2⟩}^{\prime }={\cup }_{\alpha \in A}{N}_{p_1-\alpha }^{\prime }\times N_{p_2-\alpha }^{\prime }$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、(N'_{p_i-\alpha} \subseteq T_1\)は$p_i$のオープンネイバーフッド（開近傍）である。ある$\alpha \in A$に対して、$⟨p_1,p_2⟩\in N_{p_1-\alpha }^{\prime }\times N_{p_2-\alpha }^{\prime }$および$f(N_{p_1-\alpha }^{\prime }\times N_{p_2-\alpha }^{\prime })\subseteq N_{p_1{p}_2}$。$p_i$が$T_2$のポイントであろうが$T_2$のアキューミュレーションポイント（集積点）であろうが、ポイントたち$p_1^{\prime }\in N_{p_1-\alpha }^{\prime }\cap T_2$および$p_2^{\prime }\in N_{p_2-\alpha }^{\prime }\cap T_2$があり、$f(⟨p_1^{\prime },p_2^{\prime }⟩)=p_1^{\prime }{p}_2^{\prime }\in N_{p_1{p}_2}\cap T_2$。したがって、$p_1{p}_2$は$T_2$のポイントであるか$T_2$のアキューミュレーションポイント（集積点）である。

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参考資料

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