トポロジカルグループ（群）のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルグループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルグループ（群）のサブグループ（部分群）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）上のインバースマップ（逆写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）の任意のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルグループ（群）\(T_1\)、任意のサブグループ（部分群）\(T_2 \subseteq T_1\)に対して、\(T_2\)のクロージャー（閉包）\(\overline{T_2}\)はサブグループ（部分群）である。
2: 証明
それは、\(\overline{T_2}^{-1} \subseteq \overline{T_2}\)および\(\overline{T_2} \overline{T_2} \subseteq \overline{T_2}\)ということである。
\(\overline{T_2}^{-1} \subseteq \overline{T_2}\)であることを証明しよう。任意の\(p \in \overline{T_2}^{-1}\)に対して、\(p \in \overline{T_2}\)？\(p^{-1} \in \overline{T_2}\)。\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T_1\)に対して、\(p^{-1} \in {N_p}^{-1}\)、しかし、任意のトポロジカルグループ（群）上のインバースマップ（逆写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題によって、\({N_p}^{-1}\)は\(p^{-1}\)の\(T_1\)上のネイバーフッド（近傍）である。\(p^{-1}\)が\(T_2\)のポイントであろうが\(T_2\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であろうが、\({N_p}^{-1} \cap T_2 \neq \emptyset\)。したがって、あるポイント\(p' \in {N_p}^{-1} \cap T_2\)があり、\(p'^{-1} \in N_p \cap T_2\)、したがって、\(N_p \cap T_2 \neq \emptyset\)。したがって、\(p\)は\(T_2\)のポイントであるか\(T_2\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である。
\(\overline{T_2} \overline{T_2} \subseteq \overline{T_2}\)であることを証明しよう。任意のポイントたち\(p_1, p_2 \in \overline{T_2}\)に対して、\(p_1 p_2 \in \overline{T_2}\)？マルチプリケーション（積）マップ（写像）\(f: T_1 \times T_1 \rightarrow T_1\)はトポロジカルグループ（群）の定義によってコンティニュアス（連続）であるので、\(p_1 p_2\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{p_1 p_2} \subseteq T_1\)に対して、\(\langle p_1, p_2 \rangle \)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_{\langle p_1, p_2 \rangle } \subseteq T_1 \times T_1\)、つまり、\(f (N_{\langle p_1, p_2 \rangle }) \subseteq N_{p_1 p_2}\)、がある、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義によって。\(\langle p_1, p_2 \rangle \)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(N'_{\langle p_1, p_2 \rangle } \subseteq N_{\langle p_1, p_2 \rangle }\)があり、\(N'_{\langle p_1, p_2 \rangle } = \cup_{\alpha \in A} N'_{p_1-\alpha} \times N'_{p_2-\alpha}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）であり、(N'_{p_i-\alpha} \subseteq T_1\)は\(p_i\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。ある\(\alpha \in A\)に対して、\(\langle p_1, p_2 \rangle \in N'_{p_1-\alpha} \times N'_{p_2-\alpha}\)および\(f (N'_{p_1-\alpha} \times N'_{p_2-\alpha}) \subseteq N_{p_1 p_2}\)。\(p_i\)が\(T_2\)のポイントであろうが\(T_2\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であろうが、ポイントたち\(p'_1 \in N'_{p_1-\alpha} \cap T_2\)および\(p'_2 \in N'_{p_2-\alpha} \cap T_2\)があり、\(f (\langle p'_1, p'_2 \rangle ) = p'_1 p'_2 \in N_{p_1 p_2} \cap T_2\)。したがって、\(p_1 p_2\)は\(T_2\)のポイントであるか\(T_2\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である。
