マッピングシリンダー（円柱）からトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、アジャンクション（付加）アタッチング元スペース（空間）からとアジャンクション（付加）アタッチング先スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、マッピングシリンダー（円柱）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマッピングシリンダー（円柱）に対して、当該マッピングシリンダー（円柱）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該アジャンクション（付加）アタッチング元スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）と当該アジャンクション（付加）アタッチング先スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2, T_3\)、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f: T_1 \to T_2\)、マッピングシリンダー（円柱）\(M_f := T_2 \cup_{f_0} (T_1 \times I)\)、ここで、\(f_0: T_1 \times \{0\} \to T_2, \langle p, 0 \rangle \mapsto f (p)\)および\(I := [0, 1]\)、任意のマップ（写像）\(f_1: M_f \to T_3\)、インデュースト（導出された）マップ（写像）\(f_2: T_1 \times I \to M_f \to T_3\)、インデュースト（導出された）マップ（写像）\(f_3: T_2 \to M_f \to T_3\)に対して、\(f_1\)はコンティニュアス（連続）、もしも、\(f_2\)および\(f_3\)がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
クウォシェント（商）マップ（写像）\(q: T_1 \times I + T_2 \to M_f\)、ここで、任意の\(p \in f_0 (T_1 \times \{0\})\)と\({f_0}^{-1} (p)\)が同定される、がある。\(f_2 = f_1 \circ q\vert_{T_1 \times I}\)および\(f_3 = f_1 \circ q\vert_{T_2}\)、定義たちによって。
任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_3\)に対して、\(q^{-1} ({f_1}^{-1} (S)) = {f_2}^{-1} (S) + {f_3}^{-1} (S)\)であることを証明しよう。任意の\(p \in q^{-1} ({f_1}^{-1} (S))\)に対して、\(p \in T_1 \times I\)または\(p \in T_2\)。もしも、\(p \in T_1 \times I\)である場合、\(f_2 (p) \in S\)、なぜなら、\(q (p) \in {f_1}^{-1} (S)\)および\(f_1 \circ q (p) \in S\)、しかし、\(f_2 = f_1 \circ q\vert_{T_1 \times I}\)。もしも、\(p \in T_2\)である場合、\(f_3 (p) \in S\)、なぜなら、\(f_1 \circ q (p) \in S\)、しかし、\(f_3 = f_1 \circ q\vert_{T_2}\)。したがって、\(p \in {f_2}^{-1} (S) + {f_3}^{-1} (S)\)。任意の\(p \in {f_2}^{-1} (S) + {f_3}^{-1} (S)\)に対して、\(f_2 (p) \in S\)または\(f_3 (p) \in S\)、それが意味するのは、\(f_1 \circ q\vert_{T_1 \times I} (p) \in S\)または\(f_1 \circ q\vert_{T_2} (p) \in S\)。したがって、\(f_1 \circ q (p) \in S\)、したがって、\(p \in q^{-1} ({f_1}^{-1} (S))\)。
\(f_2\)および\(f_3\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T_3\)に対して、\({f_1}^{-1} (U)\)は\(M_f\)上でオープン（開）であるか？それは、\(q^{-1} ({f_1}^{-1} (U))\)は\(T_1 \times I + T_2\)上でオープン（開）であるか否かの問題だ、クウォシェント（商）トポロジーの定義によって。\(q^{-1} ({f_1}^{-1} (U)) = {f_2}^{-1} (U) + {f_3}^{-1} (U)\)、上記で証明されたとおり、そして、それは\(T_1 \times I + T_2\)上でオープン（開）である。
\(f_1\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意の\(U \in T_3\)に対して、\(q^{-1} ({f_1}^{-1} (U)) = {f_2}^{-1} (U) + {f_3}^{-1} (U)\)は\(T_1 \times I + T_2\)上でオープン（開）である。\({f_2}^{-1} (U)\)は\(T_1 \times I\)上でオープン（開）であり、\({f_3}^{-1} (U)\)は\(T_2\)上でオープン（開）である。
