333: マッピングシリンダー（円柱）からトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、アジャンクション（付加）アタッチング元スペース（空間）からとアジャンクション（付加）アタッチング先スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って

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マッピングシリンダー（円柱）からトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、アジャンクション（付加）アタッチング元スペース（空間）からとアジャンクション（付加）アタッチング先スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、マッピングシリンダー（円柱）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のマッピングシリンダー（円柱）に対して、当該マッピングシリンダー（円柱）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該アジャンクション（付加）アタッチング元スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）と当該アジャンクション（付加）アタッチング先スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2,T_3$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f:T_1\to T_2$、マッピングシリンダー（円柱）$M_f:=T_2{\cup }_{f_0}(T_1\times I)$、ここで、$f_0:T_1\times \{0\}\to T_2,⟨p,0⟩\mapsto f(p)$および$I:=[0,1]$、任意のマップ（写像）$f_1:M_f\to T_3$、インデュースト（導出された）マップ（写像）$f_2:T_1\times I\to M_f\to T_3$、インデュースト（導出された）マップ（写像）$f_3:T_2\to M_f\to T_3$に対して、$f_1$はコンティニュアス（連続）、もしも、$f_2$および$f_3$がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

クウォシェント（商）マップ（写像）$q:T_1\times I+T_2\to M_f$、ここで、任意の$p\in f_0(T_1\times \{0\})$と${f_0}^{-1}(p)$が同定される、がある。$f_2=f_1\circ q{|}_{T_1\times I}$および$f_3=f_1\circ q{|}_{T_2}$、定義たちによって。

任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_3$に対して、$q^{-1}({f_1}^{-1}(S))={f_2}^{-1}(S)+{f_3}^{-1}(S)$であることを証明しよう。任意の$p\in q^{-1}({f_1}^{-1}(S))$に対して、$p\in T_1\times I$または$p\in T_2$。もしも、$p\in T_1\times I$である場合、$f_2(p)\in S$、なぜなら、$q(p)\in {f_1}^{-1}(S)$および$f_1\circ q(p)\in S$、しかし、$f_2=f_1\circ q{|}_{T_1\times I}$。もしも、$p\in T_2$である場合、$f_3(p)\in S$、なぜなら、$f_1\circ q(p)\in S$、しかし、$f_3=f_1\circ q{|}_{T_2}$。したがって、$p\in {f_2}^{-1}(S)+{f_3}^{-1}(S)$。任意の$p\in {f_2}^{-1}(S)+{f_3}^{-1}(S)$に対して、$f_2(p)\in S$または$f_3(p)\in S$、それが意味するのは、$f_1\circ q{|}_{T_1\times I}(p)\in S$または$f_1\circ q{|}_{T_2}(p)\in S$。したがって、$f_1\circ q(p)\in S$、したがって、$p\in q^{-1}({f_1}^{-1}(S))$。

$f_2$および$f_3$はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意のオープンサブセット（開部分集合）$U\subseteq T_3$に対して、${f_1}^{-1}(U)$は$M_f$上でオープン（開）であるか？それは、$q^{-1}({f_1}^{-1}(U))$は$T_1\times I+T_2$上でオープン（開）であるか否かの問題だ、クウォシェント（商）トポロジーの定義によって。$q^{-1}({f_1}^{-1}(U))={f_2}^{-1}(U)+{f_3}^{-1}(U)$、上記で証明されたとおり、そして、それは$T_1\times I+T_2$上でオープン（開）である。

$f_1$はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。任意の$U\in T_3$に対して、$q^{-1}({f_1}^{-1}(U))={f_2}^{-1}(U)+{f_3}^{-1}(U)$は$T_1\times I+T_2$上でオープン（開）である。${f_2}^{-1}(U)$は$T_1\times I$上でオープン（開）であり、${f_3}^{-1}(U)$は$T_2$上でオープン（開）である。

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参考資料

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