335: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である

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ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、スーパー$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちおよびそれら間のあるマップ（写像）があってそのマップ（写像）がドメイン（定義域）マニフォールド（多様体）の当該ポイントの周りのあるチャートオープンセット（開集合）上で元のマップ（写像）にリストリクトし（制限され）マニフォールド（多様体）たちマップ（写像）のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）たちがコンティニュアス（連続）である場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち${\mathbb{R}}^{d1},{\mathbb{R}}^{d2}$に対して、任意のリニア（線形）マップ（写像）$f:{\mathbb{R}}^{d1}\to {\mathbb{R}}^{d2}$はコンティニュアス（連続）である。

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2: 証明

カノニカル（標準的）なユークリディアンマニフォールド（多様体）たち${\mathbb{R}}^{d1}\subseteq {\mathbb{R}}^{d1},{\mathbb{R}}^{d2}\subseteq {\mathbb{R}}^{d2}$があり、それらは$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちであり、当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちはそれらのサブスペース（部分空間）たちである。以下を満たすカノニカルなチャートたち$<{\mathbb{R}}^{di},{\varphi }_i^{\prime }>$、つまり、${\varphi }_i^{\prime }:{\mathbb{R}}^{di}\to {\mathbb{R}}^{di}$はアイデンティマップ（恒等写像）、がある。

当該ユークリディアンマニフォールド（多様体）たち間に以下を満たすマップ（写像）$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^{d1}\to {\mathbb{R}}^{d2}$、つまり、$f^{\prime }=f$、がある。コーディネート（座標）たちファンクション（関数）たち${\varphi }_2^{\prime }\circ f^{\prime }\circ {{\varphi }_1^{\prime }}^{-1}$は実質的に$f$と同じであり、明らかにコンティニュアス（連続）である、$f$はリニア（線形）であるから。

任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、スーパー$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちおよびそれら間のあるマップ（写像）があってそのマップ（写像）がドメイン（定義域）マニフォールド（多様体）の当該ポイントの周りのあるチャートオープンセット（開集合）上で元のマップ（写像）にリストリクトし（制限され）マニフォールド（多様体）たちマップ（写像）のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）たちがコンティニュアス（連続）である場合、という命題によって、$f$は任意のポイント$p\in {\mathbb{R}}^{d1}$においてコンティニュアス（連続）である。

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参考資料

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