ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、スーパー\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちおよびそれら間のあるマップ（写像）があってそのマップ（写像）がドメイン（定義域）マニフォールド（多様体）の当該ポイントの周りのあるチャートオープンセット（開集合）上で元のマップ（写像）にリストリクトし（制限され）マニフォールド（多様体）たちマップ（写像）のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）たちがコンティニュアス（連続）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち\(\mathbb{R}^{d1}, \mathbb{R}^{d2}\)に対して、任意のリニア（線形）マップ（写像）\(f: \mathbb{R}^{d1} \rightarrow \mathbb{R}^{d2}\)はコンティニュアス（連続）である。
2: 証明
カノニカル（標準的）なユークリディアンマニフォールド（多様体）たち\(\mathbb{R}^{d1} \subseteq \mathbb{R}^{d1}, \mathbb{R}^{d2} \subseteq \mathbb{R}^{d2}\)があり、それらは\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちであり、当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちはそれらのサブスペース（部分空間）たちである。以下を満たすカノニカルなチャートたち\(\lt\mathbb{R}^{di}, \phi'_i\gt\)、つまり、\(\phi'_i: \mathbb{R}^{di} \rightarrow \mathbb{R}^{di}\)はアイデンティマップ（恒等写像）、がある。
当該ユークリディアンマニフォールド（多様体）たち間に以下を満たすマップ（写像）\(f': \mathbb{R}^{d1} \rightarrow \mathbb{R}^{d2}\)、つまり、\(f' = f\)、がある。コーディネート（座標）たちファンクション（関数）たち\(\phi'_2 \circ f' \circ {\phi'_1}^{-1}\)は実質的に\(f\)と同じであり、明らかにコンティニュアス（連続）である、\(f\)はリニア（線形）であるから。
任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、スーパー\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちおよびそれら間のあるマップ（写像）があってそのマップ（写像）がドメイン（定義域）マニフォールド（多様体）の当該ポイントの周りのあるチャートオープンセット（開集合）上で元のマップ（写像）にリストリクトし（制限され）マニフォールド（多様体）たちマップ（写像）のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）たちがコンティニュアス（連続）である場合、という命題によって、\(f\)は任意のポイント\(p \in \mathbb{R}^{d1}\)においてコンティニュアス（連続）である。
