ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線型写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d_1\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(d_2\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でもある
\(\mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でもある
\(f\): \(: \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_2}\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線型写像）たち }\}\)
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(r \in \mathbb{R}^{d_1}\)に対して、\(f (r)\)周りの任意のオープンボール（開球）\(B_{f (r), \epsilon}\)を取り、\(r\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{r, \delta}\)、つまり、\(f (B_{r, \delta}) \subseteq B_{f (r), \epsilon}\)、を取る: \(\mathbb{R}^{d_1}\)に対する任意のベーシス（基底）を取る。
ステップ1:
\(r \in \mathbb{R}^{d_1}\)を任意のものとしよう。
\(f (r)\)周りの任意のオープンボール（開球）\(B_{f (r), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)を取ろう。
\(r\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{r, \delta} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)、つまり、\(f (B_{r, \delta}) \subseteq B_{f (r), \epsilon}\)、を取ろう。
\(\mathbb{R}^{d_1}\)に対する任意のベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_{d_1}\}\)を取ろう。
\(r' \in B_{r, \delta}\)を任意のものとしよう。
\(r' = r'^j b_j\)。
\(f\)はリニア（線形）であるから、\(f (r') = f (r'^j b_j) = r'^j f (b_j)\)。
\(M := Max (\{\Vert f (b_1) \Vert, ..., \Vert f (b_{d_1}) \Vert\})\)としよう。
\(\Vert f (r') - f (r) \Vert = \Vert r'^j f (b_j) - r^j f (b_j) \Vert = \Vert (r'^j - r^j) f (b_j) \Vert \le \vert r'^j - r^j \vert \Vert f (b_j) \Vert \le \sum_{j \in \{1, ..., d_1\}} \vert r'^j - r^j \vert M\)。
各\(j \in \{1, ..., d_1\}\)に対して、\(\vert r'^j - r^j \vert \lt \delta\)、なぜなら、もしも、ある\(j\)に対して\(\delta \le \vert r'^j - r^j \vert\)であったら、\(\delta^2 \le \vert r'^j - r^j \vert^2\)および\(\delta^2 \le \sum_{j \in \{1, ..., d_1\}} \vert r'^j - r^j \vert^2 = \Vert r' - r \Vert^2\)、矛盾。
したがって、\(\Vert f (r') - f (r) \Vert \lt \sum_{j \in \{1, ..., d_1\}} \delta M = d_1 \delta M\)。
したがって、\(\delta := \epsilon / (d_1 M)\)を取ろう。
すると、\(\Vert f (r') - f (r) \Vert \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(f (B_{r, \delta}) \subseteq B_{f (r), \epsilon}\)。
したがって、\(f\)は\(r\)においてコンティニュアス（連続）である。
\(r\)は恣意的であるから、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
