トポロジカルスペース（空間）の中へのクローズドサブスペース（閉部分空間）からのインクルージョン（封入）はクローズド（閉）コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドマップ（閉写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）から当該トポロジカルスペース（空間）の中へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のクローズドサブスペース（閉部分空間）からのインクルージョン（封入）はクローズド（閉）コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)、任意のクローズドサブスペース（閉部分空間）\(T_2 \subseteq T_1\)に対して、インクルージョン（封入）\(f: T_2 \rightarrow T_1\)はクローズド（閉）コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。
2: 証明
\(f': T_2 \rightarrow f (T_2)\)はバイジェクション（全単射）である。任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）から当該トポロジカルスペース（空間）の中へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、そして、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、\(f'\)はコンティニュアス（連続）である。任意のクローズドサブセット（閉部分集合）\(C \in T_2\)に対して、\({f'^{-1}}^{-1} (C) = f' (C) = C\)、それは、\(T_1\)上でクローズド（閉）である、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題によって。\(C = C \cap f (T_2)\)は\(f (T_2)\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。したがって、\(f'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。\(f'\)はクローズド（閉）である、なぜなら、ドメイン（定義域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のイメージ（像）がクローズド（閉）であるから、既に示されたとおり。
