ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）は、クローズドセット（閉集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のクローズドサブセット（部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）\(T\)および任意のクローズドサブセット（閉部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、コラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）\(T/S\)はノーマル（正規）である。
2: 証明
\(f\)がクウォシェント（商）マップ（写像）\(f: T \rightarrow T/S\)であるとし、\(C_1, C_2 \in T/S\)は\(T/S\)上の以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）たち、つまり、\(C_1 \cap C_2 = \emptyset\)、であるとしよう。\(f^{-1} (C_i)\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）は、クローズドセット（閉集合）であるという命題によって。\(f^{-1} (C_1) \cap f^{-1} (C_2) = \emptyset\)。\(T\)はノーマル（正規）であるから、\(f^{-1} (C_1), f^{-1} (C_2)\)の周りに、以下を満たすあるオープンセット（開集合）たち\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、がある。
もしも、\(S \notin C_1, C_2\)である場合、\(f^{-1} (C_i) \subseteq T \setminus S\)、したがって、\(U'_i := U_i \cap (T \setminus S)\)、\(T\)上でオープン（開）、やはり\(f^{-1} (C_i)\)を包含している、その一方で\(U'_1 \cap U'_2 = \emptyset\)。\(f (U'_i)\)は\(T/S\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f^{-1} (f (U'_i)) = U'_i\)は\(T\)上でオープン（開）である。\(f (U'_i)\)は\(C_i\)を包含する。\(f (U'_1) \cap f (U'_2) = U'_1 \cap U'_2 = \emptyset\)。
もしも、\( S \notin C_1\)かつ\(S \in C_2\)である場合、\(f^{-1} (C_1) \subseteq T \setminus S\)および\(S \subseteq f^{-1} (C_2)\)、そして、\(U_1 \cap S = \emptyset\)。\(f (U_i)\)は\(T/S\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f^{-1} (f (U_i)) = U_i\)は\(T\)上でオープン（開）である。\(f (U_i)\)は\(C_i\)を包含する。\(f (U_1) \cap f (U_2) = \emptyset\)。
もしも、\(S \in C_1\)かつ\(S \notin C_2\)である場合、状況は上記ケースと対称である。
