328: ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である

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ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）は、クローズドセット（閉集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のクローズドサブセット（部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）$T$および任意のクローズドサブセット（閉部分集合）$S\subseteq T$に対して、コラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）$T/S$はノーマル（正規）である。

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2: 証明

$f$がクウォシェント（商）マップ（写像）$f:T\to T/S$であるとし、$C_1,C_2\in T/S$は$T/S$上の以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）たち、つまり、$C_1\cap C_2=\mathrm{\varnothing }$、であるとしよう。$f^{-1}(C_i)$は$T$上でクローズド（閉）である、$f$はコンティニュアス（連続）であるから、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）は、クローズドセット（閉集合）であるという命題によって。$f^{-1}(C_1)\cap f^{-1}(C_2)=\mathrm{\varnothing }$。$T$はノーマル（正規）であるから、$f^{-1}(C_1),f^{-1}(C_2)$の周りに、以下を満たすあるオープンセット（開集合）たち$U_1,U_2\subseteq T$、つまり、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、がある。

もしも、$S\notin C_1,C_2$である場合、$f^{-1}(C_i)\subseteq T\setminus S$、したがって、$U_i^{\prime }:=U_i\cap (T\setminus S)$、$T$上でオープン（開）、やはり$f^{-1}(C_i)$を包含している、その一方で$U_1^{\prime }\cap U_2^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$。$f(U_i^{\prime })$は$T/S$上でオープン（開）である、なぜなら、$f^{-1}(f(U_i^{\prime }))=U_i^{\prime }$は$T$上でオープン（開）である。$f(U_i^{\prime })$は$C_i$を包含する。$f(U_1^{\prime })\cap f(U_2^{\prime })=U_1^{\prime }\cap U_2^{\prime }=\mathrm{\varnothing }$。

もしも、$S\notin C_1$かつ$S\in C_2$である場合、$f^{-1}(C_1)\subseteq T\setminus S$および$S\subseteq f^{-1}(C_2)$、そして、$U_1\cap S=\mathrm{\varnothing }$。$f(U_i)$は$T/S$上でオープン（開）である、なぜなら、$f^{-1}(f(U_i))=U_i$は$T$上でオープン（開）である。$f(U_i)$は$C_i$を包含する。$f(U_1)\cap f(U_2)=\mathrm{\varnothing }$。

もしも、$S\in C_1$かつ$S\notin C_2$である場合、状況は上記ケースと対称である。

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参考資料

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