2 x 2スペシャル（特殊）オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）は角度のサインおよびコサインで表現できることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マトリックス（行列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2 x 2スペシャル（特殊）オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）はある角度のサインおよびコサインで表現できるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の2 x 2スペシャル（特殊）オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）\(M\)は\(\begin{pmatrix} sin \theta & - cos \theta \\ cos \theta & sin \theta\end{pmatrix}\)、ここで、\(\theta\)はある角度で\(0 \leq \theta \lt 2\pi\)を満たす、として表わすことができる。
2: 証明
\(M\)は\(\begin{pmatrix} a & c \\ b & d\end{pmatrix}\)であるとしよう。\(M^t M = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & ac + bd \\ ac + bd & c^2 + d^2\end{pmatrix} = I\)および\(det M = ad - bc = 1\)。\(0 \leq \theta \lt 2\pi\)を満たすある\(\theta\)に対して、\(a = sin \theta, b = cos \theta\)。\(0 \leq \theta' \lt 2\pi\)を満たすある\(\theta'\)に対して、\(c = - cos \theta', d = sin \theta'\)。\(- sin \theta cos \theta' + cos \theta sin \theta' = 0\)、\(tan \theta = tan \theta'\)。\(\theta' = \theta\)または\(\theta' = \theta + \pi\)または\(\theta' = \theta - \pi\)。\(sin \theta sin \theta' + cos \theta cos \theta' = 1\)。したがって、\(\theta' = \theta\)。
