\(n\)-ディメンショナル（次元）クォータニオン（4元数）たちジェネラルリニア（線形）グループ（群）は、非ゼロデターミナント（行列式）対応する\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのグループ（群）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であり、後者によって代表することができることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、全ての\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのリング（環）は\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）-\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題を認めている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）で任意の\(d\)-要素たちベーシス（基底）を持つものおよび当該モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）に対して、当該ジェネラルリニア（線形）グループ（群）からインバーティブル（可逆）\(d \times d\)リング（環）マトリックス（行列）たちのグループ（群）の上への、当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリング（環）はカノニカル（正典）にあるモジュール（加群）で、ある\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、モジュール（加群）たちでベーシス（基底）たちを持つものたちの任意のファイナイト（有限）プロダクトモジュール（加群）はこのベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）の任意のマルチプリカブル（積を取ることができる）（前者マトリックス（行列）のブロックたちと）同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）たちで任意の同一カーディナリティ（濃度）ベーシス（基底）たちを持つものたち間任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はあるバイジェクション（全単射）である、もしも、当該ベーシス（基底）たちに関する対応するマトリックス（行列）がインバーティブル（可逆）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(n\)-ディメンショナル（次元）クォータニオン（4元数）たちジェネラルリニア（線形）グループ（群）は、非ゼロデターミナント（行列式）対応する\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのグループ（群）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であり、後者によって代表することができる、それが意味するのは、前者の各要素のマップ（写像）は後者の対応する要素のマップ（写像）によって代表されること、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{H}\): \(= \text{ クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環） }\), \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\), \(= \text{ 当該カノニカル（正典） } \mathbb{H} \text{ モジュール（加群）でベーシス（基底） }\{1\}\)を持つもの
\(\mathbb{H}^n\): \(= \text{ 当該プロダクトモジュール（加群）でベーシス（基底） }B := \{b^1 = (1, 0, ..., 0), ..., b^n = (0, ..., 0, 1)\} \text{ を持つもの }\)
\(GL (\mathbb{H}^n)\): \(= \mathbb{H}^n \text{ のジェネラルリニア（線形）グループ（群） }\)
\(M_n (\mathbb{H})\): \(= \text{ 全ての } n \times n \mathbb{H} \text{ マトリックス（行列）たちのリング（環） }\)
\(M_n (\mathbb{H})^{\times}\): \(= M_n (\mathbb{H}) \text{ の全てのインバーティブル（可逆）要素たちのグループ（群） }\)
\(f\): \(: \mathbb{H} \to R\), \(= \text{ 'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）は\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちリング（環）のあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題内で定義された
\(f''\): \(: M_n (\mathbb{H}) \to f' (M_n (\mathbb{H}))\), \(= \text{ 'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、全ての\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのリング（環）は\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）-\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題内で定義された
\(f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\): \(= f'' (M_n (\mathbb{H})) \text{ の全ての非ゼロデターミナント（行列式）要素たちのグループ（群） }\)
\(g\): \(: GL (\mathbb{H}^n) \to M_n (\mathbb{H})^{\times}\), \(= B \text{ に関する'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、任意のモジュール（加群）で任意の\(d\)-要素たちベーシス（基底）を持つものおよび当該モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）に対して、当該ジェネラルリニア（線形）グループ（群）からインバーティブル（可逆）\(d \times d\)リング（環）マトリックス（行列）たちのグループ（群）の上への、当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題内で定義された
\(f'''\): \(: \mathbb{H}^n \to \mathbb{C}^{2 \times 2 n}\)、それは、各\(p \in \mathbb{H}^n\)（行とみなされる）の各コンポーネントを\(f (p)\)で置き換える
\(g'\): \(: M_n (\mathbb{H})^{\times} \to f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\), \(= f'' \vert_{M_n (\mathbb{H})^{\times}}\)
\(g''\): \(: GL (\mathbb{H}^n) \to f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\), \(= g' \circ g\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(g' \in \{ \text{ 全ての'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち } \}\)
\(\land\)
\(g'' \in \{ \text{ 全ての'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち } \}\)
\(\land\)
\(\forall h \in GL (\mathbb{H}^n), \forall m \in \mathbb{H}^n (f''' (h (m)) = f''' (m) g'' (h))\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\mathbb{H}^n\) is a module with \(B\), that \(M_n (\mathbb{H})\) is a ring, and that \(M_n (\mathbb{H})^{\times}\) is a group; Step 2: see that \(g'\) is valid; Step 3: see that \(g'\) is a bijection; Step 4: see that \(g'\) is a group homomorphism; Step 5: conclude that \(g'\) and \(g''\) are some 'groups - homomorphisms' isomorphisms; Step 6: see that \(f''' (h (m)) = f''' (m) g'' (h)\).
Step 1:
Let us see that what are listed in Entities are really as are claimed.
\(\mathbb{H}\) is a ring, as is mentioned in Note for the definition of quaternions division associative algebra.
\(\mathbb{H}\) is an \(\mathbb{H}\) module with the basis, \(\{1\}\), by the proposition that any ring is canonically a module with a \(1\)-element basis.
\(\mathbb{H}^n\) has the basis, \(B\), by the proposition that any finite product module of modules with bases has this basis.
\(M_n (\mathbb{H})\) is a ring, by Note for the definition of ring of \(n \times n\) ring matrices.
\(M_n (\mathbb{H})^{\times}\) is a group, by the proposition that for any module with any \(d\)-elements basis and the general linear group of the module, there is the canonical 'groups - homomorphisms' isomorphism with respect to the basis from the general linear group onto the group of the invertible \(d \times d\) ring matrices.
We will see later that \(f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\) is a group.
Step 2:
Let us see that \(g'\) is valid.
Let \(m \in M_n (\mathbb{H})^{\times}\) be any.
There is the \(m^{- 1} \in M_n (\mathbb{H})^{\times}\), because \(M_n (\mathbb{H})^{\times}\) is a group, and \(f'' (I) = f'' (m^{- 1} m) = f'' (m^{- 1}) f'' (m)\), because \(f''\) is a rings homomorphism, but \(f'' (I) = I\), because \(f''\) is a rings homomorphism, so, \(f'' (m^{- 1}) f'' (m) = I\), and \(det (f'' (m^{- 1}) f'' (m)) = det I = 1\), but the left hand side is \(det f'' (m^{- 1}) det f'' (m)\), as is well known, so, \(det f'' (m) \neq 0\).
So, \(f'' (m) \in f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\).
So, \(g'\) is into \(f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\).
So, \(g'\) is valid.
Step 3:
\(g'\) is an injection, because \(f''\) is so, because \(f''\) is a 'rings - homomorphisms' isomorphism.
There is the bijective \(\widetilde{g}: End (\mathbb{H}^n) \to M_n (\mathbb{H})\) where \(End (\mathbb{H}^n)\) is the set of the module endomorphisms on \(\mathbb{H}^n\), by the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix (\(g\) is the restriction of \(\widetilde{g}\)).
Let us see that for each \(h \in End (\mathbb{H}^n)\) and \(m \in \mathbb{H}^n\), \(f''' (h (m)) = f''' (m) f'' \circ \widetilde{g} (h)\).
The \(j\)-th \(2 \times 2\) block in \(f''' (h (m))\) is \(f (h (m)_j) = f (m_l \widetilde{g} (h)^l_j) = f (m_l) f (\widetilde{g} (h)^l_j)\), because \(f\) is a ring homomorphism.
The \(j\)-th \(2 \times 2\) block in \(f''' (m) f'' \circ \widetilde{g} (h)\) is \(f (m_l) f (\widetilde{g} (h)^l_j)\), by the proposition that the multiplication of any matrix made of any same size blocks by any matrix made of blocks of any multiplicable (with blocks of the former matrix) same size is blocks-wise.
So, \(f''' (h (m)) = f''' (m) f'' \circ \widetilde{g} (h)\).
Let us see that \(g'\) is a surjection.
For each \(f'' (M) \in f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\), as the determinant is nonzero, there is the inverse, \(f'' (M)^{-1} \in M_{2 n} (\mathbb{C})\), and \(f'' (M)\) represents the bijection from \(\mathbb{C}^{2 n}\) to \(\mathbb{C}^{2 n}\), by the proposition that for any linear map between modules with any same cardinality bases, the map is a bijection if and only if the corresponding matrix with respect to the bases is invertible: \(\mathbb{C}^{2 n}\) is a module with the canonical \(2 n\)-elements basis, by the proposition that any ring is canonically a module with a \(1\)-element basis and the proposition that any finite product module of modules with bases has this basis.
\(\widetilde{g}^{- 1} (M) \in End (\mathbb{H}^n)\).
The issue is whether \(\widetilde{g}^{- 1} (M)\) is a bijection.
\(\widetilde{g}^{- 1} (M)\) is an injection, because for each \(m, m' \in \mathbb{H}^n\) such that \(m \neq m'\), \(f''' (m) \neq f''' (m')\), and \(f''' (\widetilde{g}^{- 1} (M) (m)) = f''' (m) f'' \circ \widetilde{g} (\widetilde{g}^{- 1} (M)) = f''' (m) f'' (M) \neq f''' (m') f'' (M) = f''' (m') f'' \circ \widetilde{g} (\widetilde{g}^{- 1} (M)) = f''' (\widetilde{g}^{- 1} (M) (m'))\), because \(f'' (M)\) represents a bijection, so, \(\widetilde{g}^{- 1} (M) (m) \neq \widetilde{g}^{- 1} (M) (m')\).
Let us see that \(\widetilde{g}^{- 1} (M)\) is a surjection.
Let \(m' \in \mathbb{H}^n\) be any.
There is \(v \in \mathbb{C}^{2 n}\) such that \(\pi_1 \circ f''' (m') = v f'' (M)\), where \(\pi_1\) is the projection to the 1st row, because \(f'' (M)\) represents a bijection.
There is \(m \in \mathbb{H}^n\) such that \(v = \pi_1 \circ f''' (m)\), because when the \(j\)-th \(1 \times 2\) block of \(v\) is \((a + b i, c + d i)\), \(m_j\) can be taken to be \(a + b i + c j + d k\).
Then, \(f''' (m') = f''' (m) f'' (M)\), because while \(\pi_1 \circ f''' (m') = v f'' (M) = (\pi_1 \circ f''' (m)) f'' (M) = \pi_1 (f''' (m) f'' (M))\), which is directly from the definition of matrix multiplication, \(f''' (m) f'' (M) = f''' (m) f'' \circ \widetilde{g} (\widetilde{g}^{- 1} (M)) = f''' (\widetilde{g}^{- 1} (M) (m))\), which has shown that \(f''' (m) f'' (M)\) is a value of \(f'''\), so, \(f''' (m) f'' (M)\) cannot be nothing but \(f''' (m')\), because for any value of \(f'''\), the 2nd row is uniquely determined from the 1st row, so, when the 1st rows of any \(2\) values of \(f'''\) are equal, the 2nd rows of the values are equal.
Then, \(m' = \widetilde{g}^{- 1} (M) (m)\), because if \(m' \neq \widetilde{g}^{- 1} (M) (m)\), \(f''' (m') \neq f''' (\widetilde{g}^{- 1} (M) (m)) = f''' (m) f'' \circ \widetilde{g} (\widetilde{g}^{- 1} (M)) = f''' (m) f'' (M)\), a contradiction against \(f''' (m') = f''' (m) f'' (M)\).
So, \(\widetilde{g}^{- 1} (M)\) is a surjection.
So, \(\widetilde{g}^{- 1} (M)\) is a bijection.
So, \(M\) is invertible, by the proposition that for any linear map between modules with any same cardinality bases, the map is a bijection if and only if the corresponding matrix with respect to the bases is invertible.
So, \(M \in M_n (\mathbb{H})^{\times}\).
So, \(g'\) is a surjection.
So, \(g'\) is a bijection.
Step 4:
Let us see that \(f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\) is indeed a group.
For each \(f'' (m), f'' (m') \in f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\), \(f'' (m) f'' (m') = f'' (m m') \in f'' (M_n (\mathbb{H}))\), because \(f''\) is a ring homomorphism, and \(det (f'' (m) f'' (m')) = det f'' (m) det f'' (m')\), as is well known, \(\neq 0\), so, \(f'' (m) f'' (m') \in f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\), so, \(f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\) is closed under multiplication.
The multiplications are associative, by the proposition that for any ring, the multiplications of any matrices over the ring are associative.
\(f'' (I) = I\), because \(f''\) is a rings homomorphism, which is in \(f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\), because it has the nonzero determinant, which is the identity element of \(f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\)
For each \(f'' (m) \in f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\), as \(g'\) is a bijection, by Step 3, \(m \in M_n (\mathbb{H})^{\times}\), so, there is an inverse, \(m' \in M_n (\mathbb{H})^{\times}\), such that \(m m' = I\) and \(m' m = I\), so, \(I = f'' (I) = f'' (m m') = f'' (m) f'' (m')\) and \(I = f'' (I) = f'' (m' m) = f'' (m') f'' (m)\), because \(f''\) is a ring homomorphism, so, \(f'' (m)^{- 1} = f'' (m') \in f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\).
So, \(f'' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\) is a group.
Let us see that \(g'\) is a group homomorphism.
For each \(M, M' \in M_n (\mathbb{H})^{\times}\), \(g' (M M') = f'' (M M') = f'' (M) f'' (M') = g' (M) g' (M')\), because \(f''\) is a ring homomorphism.
\(g'\) is a group homomorphism, by the proposition that any map between any groups that maps the product of any 2 elements to the product of the images of the elements is a group homomorphism.
Step 5:
\(g'\) is a 'groups - homomorphisms' isomorphism, by the proposition that any bijective group homomorphism is a 'groups - homomorphisms' isomorphism.
\(g'' = g' \circ g\) is a 'groups - homomorphisms' isomorphism, because \(g\) and \(g'\) are some 'groups - homomorphisms' isomorphisms.
Step 6:
\(\forall h \in GL (\mathbb{H}^n), \forall m \in \mathbb{H}^n (f''' (h (m)) = f''' (m) g'' (h))\), is just a restriction of \(f''' (h (m)) = f''' (m) f'' \circ \widetilde{g} (h)\) seen in Step 3, because \(f'' \circ \widetilde{g} (h) = f'' \circ g (h) = g' \circ g (h) = g'' (h)\).
