343: n次元クォータニオン（4元数）ジェネラルリニア（線形）グループ（群）は、非ゼロデターミナント（行列式）対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であり、後者によって代表することができる

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n次元クォータニオン（4元数）ジェネラルリニア（線形）グループ（群）は、非ゼロデターミナント（行列式）対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であり、後者によって代表することができることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、クォータニオン（4元数）の定義を知っている。
• 読者は、ジェネラル（一般）リニア（線形）グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、全クォータニオン（4元数）たちのセット（集合）は対応する2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たち全てのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、全n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）は対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たち全てのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、全クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）と対応する2-x-2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たち全てのセット（集合）の間の'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題を認めている。
• 読者は、任意の同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）の任意のマルチプリカブル（積を取ることができる）（前者マトリックス（行列）のブロックたちと）同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、n次元クォータニオン（4元数）ジェネラルリニア（線形）グループ（群）は、非ゼロデターミナント（行列式）対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であり、後者によって代表することができる、それが意味するのは、前者の各要素のマップ（写像）は後者の対応する要素のマップ（写像）で代表することができる、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

第1に、いくつかのシンボルたちを定義しよう。$\mathbb{H}$は全クォータニオン（4元数）たちのセット（集合）である。$GL(n,\mathbb{H})$はn次元クォータニオン（4元数）ジェネラルリニア（線形）グループ（群）である。$V$は$\mathbb{H}$上のn次元ベクトルたちスペース（空間）でそれに$GL(n,\mathbb{H})$が作用するものである。$M_n(\mathbb{H})$は全n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）である。$(M_n(\mathbb{H}){)}^x$は全インバーティブル（可逆）n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）である。$f$は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$f:M_n(\mathbb{H})\to f^{″}(M_n(\mathbb{H}))$で、全n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）は対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たち全てのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、全クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）と対応する2-x-2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たち全てのセット（集合）の間の'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題で定義されたもの、ここで、$f^{″}$はそこで定義されている。$(f^{″}(M_n(\mathbb{H})){)}^x$は$f^{″}(M_n(\mathbb{H}))$内の非ゼロデターミナント（行列式）マトリックス（行列）たちのセット（集合）である。$h^{\prime }$は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち）'アイソモーフィズム（同形写像）$h^{\prime }:V\to {\mathbb{H}}^n$である、$V$に対してあるベーシス（基底）が選ばれたときの。$h$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、$GL(n,\mathbb{H})\to (M_n(\mathbb{H}){)}^x$、選ばれたベーシス（基底）に対応して。$f^{‴}$は${\mathbb{H}}^n$から$f^{‴}({\mathbb{H}}^n)\subseteq {\mathbb{C}}^{2nx2}$へのマップ（写像）で各${\mathbb{H}}^n$要素の各コンポーネントを$f^{\prime }$によって置き換えるものである、ここで、$f^{\prime }$は上記に言及された命題内で定義された全クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）と対応する2-x-2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たち全てのセット（集合）の間の'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

$(M_n(\mathbb{H}){)}^x$は$(f^{″}(M_n(\mathbb{H})){)}^x$へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、$g^{\prime }=f{|}_{(M_n(\mathbb{H}){)}^x}:(M_n(\mathbb{H}){)}^x\to (f^{″}(M_n(\mathbb{H})){)}^x$によって。$GL(n,\mathbb{H})$は$(f^{″}(M_n(\mathbb{H})){)}^x$へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、$g=g^{\prime }\circ h:GL(n,\mathbb{H})\to (f^{″}(M_n(\mathbb{H})){)}^x$によって。さらに、任意の$G\in GL(n,\mathbb{H})$および任意の$v\in V$に対して、$f^{‴}(h^{\prime }(Gv))=g(G)f^{‴}(h^{\prime }(v))$。

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2: 証明

$g^{\prime }=f{|}_{(M_n(\mathbb{H}){)}^x}:(M_n(\mathbb{H}){)}^x\to (f^{″}(M_n(\mathbb{H})){)}^x$は妥当な定義である、それが意味するのは、$f$は$(M_n(\mathbb{H}){)}^x$を$(f^{″}(M_n(\mathbb{H})){)}^x$の中へマップするということ、それが意味するのは、任意のインバーティブル（可逆）$M\in (M_n(\mathbb{H}){)}^x$に対して、$f(M)$のデターミナント（行列式）は非ゼロであること、ことを証明しよう。$M^{-1}M=I$。$f(M^{-1}M)=f(M^{-1})f(M)=f(I)=I$、なぜなら、$f$はリング（環）たちホモモーフィック（準同形写像）である。$det(f(M^{-1})f(M))=det(f(M^{-1}))det(f(M))=det(I)=1$。したがって、$det(f(M))\ne 0$。

$g^{\prime }$はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、$f$はインジェクティブ（単射）であるから。

$g^{\prime }$がサージェクティブ（全射）であることを証明する前に、$f^{‴}(h^{\prime }(Gv))=g(G)f^{‴}(h^{\prime }(v))$であることを証明しよう、なぜなら、それがサージェクティブ（全射）性を証明するのに使われるから。それは、$f^{‴}(h(G)h^{\prime }(v))=g^{\prime }(h(G))f^{‴}(h^{\prime }(v))$に等しい。$f^{‴}(h(G)h^{\prime }(v))$の中のi番目2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）は$f^{\prime }(\sum _j(h(G{)}_{i,j}{h}^{\prime }(v{)}_j))=\sum _j(f^{\prime }(h(G{)}_{i,j})f^{\prime }(h^{\prime }(v{)}_j)))$である、なぜなら、$f^{\prime }$はリング（環）たちホモモーフィック（準同形写像）である、それは$g^{\prime }(h(G))f^{‴}(h^{\prime }(v))$内のi番目2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）である、任意の同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）の任意のマルチプリカブル（積を取ることができる）（前者マトリックス（行列）のブロックたちと）同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎であるという命題によって。したがって、$f^{‴}(h(G)h^{\prime }(v))=g^{\prime }(h(G))f^{‴}(h^{\prime }(v))$。

加えて、任意の$M\in M_n(\mathbb{H})$および$v\in {\mathbb{H}}^n$に対して、$f^{‴}(Mv)=f(M)f^{‴}(v)$、なぜなら、$f^{‴}(Mv)$のi番目2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）は$f^{\prime }(\sum _j{M}_{i,j}{v}_j)=\sum _j{f}^{\prime }(M_{i,j})f^{\prime }(v_j)$であり、$f(M)f^{‴}(v)$のi番目の2 x 2コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）は$\sum _j{f}^{\prime }(M_{i,j}{f}^{\prime }(v_j)$である、任意の同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）の任意のマルチプリカブル（積を取ることができる）（前者マトリックス（行列）のブロックたちと）同一サイズブロックたちから出来ている任意のマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎であるという命題および$f^{\prime }$は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという事実によって。

$g^{\prime }$はサージェクティブ（全射）であることを証明しよう。任意の$f(M)\in (f^{″}(M_n(\mathbb{H})){)}^x$に対して、デターミナント（行列式）は非ゼロであるから、インバース（逆）$(f(M){)}^{-1}$があり、$f(M)$は${\mathbb{C}}^{2n}$から${\mathbb{C}}^{2n}$へバイジェクティブ（全単射）である。問題は、$M$は${\mathbb{H}}^n$から${\mathbb{H}}^n$へバイジェクティブ（全単射）であるか否かである。インジェクティブ（単射）性については、以下を満たす任意の$v_1,v_2\in {\mathbb{H}}^n$、つまり、$v_1\ne v_2$、に対して、$M{v}_1\ne M{v}_2$？$f^{‴}(v_1)\ne f^{‴}(v_2)$。$f^{‴}(M{v}_1)=f(M)f^{‴}(v_1)\ne f(M)f^{‴}(v_2)=f^{‴}(M{v}_2)$。したがって、$M{v}_1\ne M{v}_2$。サージェクティブ（全射性）については、任意の$v^{\prime }\in {\mathbb{H}}^n$に対して、以下を満たす$v\in {\mathbb{H}}^n$、つまり、$v^{\prime }=Mv$、があるか？以下を満たすベクトル$c\in {\mathbb{C}}^{2n}$、つまり、$\pi \circ f^{‴}(v^{\prime })=f(M)c$、ここで、$\pi$は第1列へのプロジェクション（射影）、がある。以下を満たすベクトル$v\in {\mathbb{H}}^n$、つまり、$c=\pi \circ f^{‴}(v)$、がある。すると、$f^{‴}(v^{\prime })=f(M)f^{‴}(v)$、なぜなら、$f(M)$は$f^{‴}({\mathbb{H}}^n)$を$f^{‴}({\mathbb{H}}^n)$の中へマップするように保証されているので、$f(M)f^{‴}(v)$は$f^{‴}(v^{\prime })$以外の何物でもあり得ない、なぜなら、$f^{‴}(v^{\prime })$の第1列は$c$から決定され、第2列は第1列から決定される。すると、$v^{\prime }=Mv$、なぜなら、もしも、$v^{\prime }\ne Mv$である場合、$f^{‴}(v^{\prime })\ne f^{‴}(Mv)=f(M)f^{‴}(v)$、矛盾。

したがって、$g^{\prime }$はバイジェクション（全単射）である、そして、インバース（逆）$g^{\prime -1}$がある。

$g^{\prime }$はマルチプリケーション（乗法）に関してホモモーフィック（準同形写像）である、なぜなら、$f$がそうである。

$g^{\prime }$はインバース（逆）に関してホモモーフィック（準同形写像）であるか？$g^{\prime }(M^{-1}M)=g^{\prime }(M^{-1})g^{\prime }(M)=g^{\prime }(I)=f(I)=I$。したがって、$g^{\prime }(M^{-1})=(g^{\prime }(M){)}^{-1}$、したがって、はい。

したがって、$g^{\prime }$はグループ（群）たちホモモーフィズム（準同形写像）である。

$g^{\prime -1}$はグループ（群）たちホモモーフィズム（準同形写像）であるか？

$g^{\prime -1}$はマルチプリケーション（乗法）に関してホモモーフィック（準同形写像）である、なぜなら、$f^{-1}$がそうであり、$g^{\prime -1}$は$f^{-1}$のリストリクション（限定）であるから。

$g^{\prime -1}$はインバース（逆）に関してホモモーフィック（準同形写像）であるか？$g^{\prime -1}((g^{\prime }(M){)}^{-1})g^{\prime -1}(g^{\prime }(M))=g^{\prime -1}((g^{\prime }(M){)}^{-1}{g}^{\prime }(M))=g^{\prime -1}(I)=I$。したがって、$g^{\prime -1}((g^{\prime }(M){)}^{-1})=(g^{\prime -1}(g^{\prime }(M)){)}^{-1}$、したがって、はい。

したがって、$g^{\prime }$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。

$h$および$g^{\prime }$が'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）たちであるから、$g=g^{\prime }\circ h$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。

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参考資料

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