2 x 2スペシャル（特殊）ユニタリマトリックス（行列）は角度のサインおよびコサインおよび2つの角度たちのイマジナリー（虚数）エクスポーネンシャル（指数関数）たちで表わすことができることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マトリックス（行列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2 x 2スペシャル（特殊）ユニタリマトリックス（行列）はある角度のサインおよびコサインおよび別の角度のプラスおよびマイナスイマジナリー（虚数) エクスポーネンシャル（指数関数）たちおよび別の角度のプラスおよびマイナスイマジナリー（虚数) エクスポーネンシャル（指数関数）たちで表わすことができる。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の2 x 2スペシャル（特殊）ユニタリマトリックス（行列）\(M\)は、\(\begin{pmatrix} sin \theta e^{\lambda i} & - cos \theta e^{- \mu i} \\ cos \theta e^{\mu i} & sin \theta e^{- \lambda i}\end{pmatrix}\)、ここで、\(\theta\)は\(0 \le \theta \lt 2\pi\)を満たす角度、\(\lambda\)は\(0 \leq \lambda \lt \pi\)を満たす角度、\(\mu\)は\(0 \leq \mu \lt \pi\)を満たす角度、として表わすことができる。
2: 証明
\(M\)は\(\begin{pmatrix} a & c \\ b & d\end{pmatrix}\)であるとしよう。\(M^* M = \begin{pmatrix} {\vert a \vert}^2 + {\vert b \vert}^2 & a^* c + b^* d \\ a c^* + b d^* & {\vert c \vert}^2 + {\vert d \vert}^2 \end{pmatrix} = I\)および\(det M = a d - b c = 1\)。
\(a = sin \theta e^{\lambda i}, b = cos \theta e^{\mu i}\)、ここで、\(0 \le \theta \lt 2 \pi\)および\(0 \le \lambda \lt \pi\)および\(0 \le \mu \lt \pi\)、ここで、\(\lambda\)も\(\mu\)も\(2 \pi\)までである必要はない、なぜなら、\(a = sin \theta e^{(\lambda + \pi) i}, b = cos \theta e^{\mu i}\)はサインの符号を変えコサインを同一に留める新たな\(\theta\)を選ぶことによって実現できる、それは\(0 \le \theta \lt 2 \pi\)の中で明らかに可能である、\(a = sin \theta e^{\lambda i}, b = cos \theta e^{(\mu + \pi) i}\)はコサインの符号を変えサインを同一に留める新たな\(\theta\)を選ぶことによって実現できる、それは\(0 \le \theta \lt 2 \pi\)の中で明らかに可能である、\(a = sin \theta e^{(\lambda + \pi) i}, b = cos \theta e^{(\mu + \pi) i}\)はサインの符号およびコサインの符号を変える新たな\(\theta\)を選ぶことによって実現できる。
同様に、\(c = - cos \theta' e^{- \mu' i}, d = sin \theta' e^{- \lambda' i}, \)、ここで、\(0 \le \theta' \lt 2 \pi\)および\(0 \le \lambda' \lt \pi\)および\(0 \le \mu' \lt \pi\)。
\(a d - b c = sin \theta sin \theta' e^{(\lambda - \lambda') i} + cos \theta cos \theta' e^{(\mu - \mu') i} = 1\)。
\(a c^* + b d^* = - sin \theta cos \theta' e^{(\lambda + \mu') i} + cos \theta sin \theta' e^{(\mu + \lambda') i} = 0\)。\(sin \theta cos \theta' = cos \theta sin \theta'\)または\(sin \theta cos \theta' = - cos \theta sin \theta'\)、なぜなら、\(- sin \theta cos \theta' e^{(\lambda + \mu') i}\)および\(cos \theta sin \theta' e^{(\mu + \lambda') i}\)をベクトルたちと考えると、異なる長さたちの任意の2ベクトルたちはキャンセルできない。
前者ケースについては、\(cos \theta = cos \theta' = 0\)または\(tan \theta = tan \theta'\)。\(cos \theta = cos \theta' = 0\)である時、\(sin \theta = sin \theta'\)または\(sin \theta = - sin \theta'\)、\(a d - b c = sin^2 \theta e^{(\lambda - \lambda') i} = e^{(\lambda - \lambda') i} = 1\)または\(a d - b c = - sin^2 \theta e^{(\lambda - \lambda') i} = - e^{(\lambda - \lambda') i} = 1\)、\(\lambda - \lambda' = 0\)または不可能（\(\lambda - \lambda'\)は\(\pi\)や\(- \pi\)にはなれない）、したがって、\(\theta = \theta'\)および\(\lambda = \lambda'\)および\(\mu = \mu'\)（実際には、\(\mu\)および\(\mu'\)はどうでもよい、したがって、それらは等しく取ることができる）。\(tan \theta = tan \theta'\)である時、(\(cos \theta = cos \theta'\)および\(sin \theta = sin \theta'\))または(\(cos \theta = - cos \theta'\)および\(sin \theta = - sin \theta'\))、\(a d - b c = sin^2 \theta e^{(\lambda - \lambda') i} + cos^2 \theta e^{(\mu - \mu') i} = 1\)または\(a d - b c = - sin^2 \theta e^{(\lambda - \lambda') i} - cos^2 \theta e^{(\mu - \mu') i} = 1\)、(\(\lambda - \lambda' = 0\)および\(\mu - \mu' = 0\))または不可能（\(\lambda - \lambda'\)や\(\mu - \mu'\)は\(\pi\)や\(- \pi\)になれない）、したがって、\(\theta = \theta'\)、\(\lambda = \lambda'\)、\(\mu = \mu'\)。
後者ケースについては、\(cos \theta = cos \theta' = 0\)または\(tan \theta = - tan \theta'\)。\(cos \theta = cos \theta' = 0\)のケースは前パラグラフケースの中に含まれている。\(tan \theta = - tan \theta'\)である時、(\(cos \theta = cos \theta'\)および\(sin \theta = - sin \theta'\))または(\(cos \theta = - cos \theta'\)および\(sin \theta = sin \theta'\))、\(a d - b c = - sin^2 \theta e^{(\lambda - \lambda') i} + cos^2 \theta e^{(\mu - \mu') i} = 1\)または\(a d - b c = sin^2 \theta e^{(\lambda - \lambda') i} - cos^2 \theta e^{(\mu - \mu') i} = 1\)、いずれにせよ不可能（\(\lambda - \lambda'\)や\(\mu - \mu'\)は\(\pi\)や\(- \pi\)になれない）。
したがって、\(\theta' = \theta\)、\(\lambda' = \lambda\)、\(\mu' = \mu\)。
