トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、クウォシェント（商）スペース（空間）およびクウォシェント（商）スペース（空間）の各要素がコネクテッド（連結された）である場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのあるクウォシェント（商）スペース（空間）および当該クウォシェント（商）スペース（空間）の各要素がコネクテッド（連結された）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)はコネクテッド（連結された）である、もしも、あるクウォシェント（商）スペース（空間）\(T/\pi\)、ここで、\(\pi: T \rightarrow T/\pi\)、および各要素\(p \in T/\pi\)（\(T\)のサブスペース（部分空間）として）がコネクテッド（連結された）である場合。
2: 証明
\(T/\pi\)および各\(p\)はコネクテッド（連結された）であると仮定しよう。\(T\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定しよう。以下を満たす非空オープンセット（開集合）たち\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(T = U_1 \cup U_2\)および\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、があることになる。\(U_i \cap p\)は\(p\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。\(p = (U_1 \cap p) \cup (U_2 \cap p)\)、\((U_1 \cap p) \cap (U_2 \cap p) = \emptyset\)。\(p\)はコネクテッド（連結された）であるから、\(U_1 \cap p = \emptyset\)または\(U_2 \cap p = \emptyset\)。したがって、\(U_i = \cup_{\alpha \in A_i} p_\alpha\)、ここで、\(A_1 \cup A_2\)は\(T/\pi\)の要素たちに対するインデックスたちセット（集合）であり、\(A_1 \cap A_2 = \emptyset\)。\(U_i = \pi^{-1} (\{p_\alpha\vert \alpha \in A_i\})\)、そして、\(\{p_\alpha\vert \alpha \in A_i\}\)は\(T/\pi\)上でオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーの定義によって。\(T/\pi = \{p_\alpha \in T/\pi\vert \alpha \in A_1\} \cup \{p_\alpha \in T/\pi\vert \alpha \in A_2\}\)および\(\{p_\alpha \in T/\pi\vert \alpha \in A_1\} \cap \{p_\alpha \in T/\pi\vert \alpha \in A_2\} = \emptyset\)、その一方で、\(\{p_\alpha \in T/\pi\vert \alpha \in A_i\} \neq \emptyset\)、\(T/\pi\)がコネクテッド（連結された）であることに反する矛盾。
