344: トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、クウォシェント（商）スペース（空間）およびクウォシェント（商）スペース（空間）の各要素がコネクテッド（連結された）である場合

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トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、クウォシェント（商）スペース（空間）およびクウォシェント（商）スペース（空間）の各要素がコネクテッド（連結された）である場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのあるクウォシェント（商）スペース（空間）および当該クウォシェント（商）スペース（空間）の各要素がコネクテッド（連結された）である場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$はコネクテッド（連結された）である、もしも、あるクウォシェント（商）スペース（空間）$T/\pi$、ここで、$\pi :T\to T/\pi$、および各要素$p\in T/\pi$（$T$のサブスペース（部分空間）として）がコネクテッド（連結された）である場合。

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2: 証明

$T/\pi$および各$p$はコネクテッド（連結された）であると仮定しよう。$T$はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定しよう。以下を満たす非空オープンセット（開集合）たち$U_1,U_2\subseteq T$、つまり、$T=U_1\cup U_2$および$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、があることになる。$U_i\cap p$は$p$上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。$p=(U_1\cap p)\cup (U_2\cap p)$、$(U_1\cap p)\cap (U_2\cap p)=\mathrm{\varnothing }$。$p$はコネクテッド（連結された）であるから、$U_1\cap p=\mathrm{\varnothing }$または$U_2\cap p=\mathrm{\varnothing }$。したがって、$U_i={\cup }_{\alpha \in A_i}{p}_{\alpha }$、ここで、$A_1\cup A_2$は$T/\pi$の要素たちに対するインデックスたちセット（集合）であり、$A_1\cap A_2=\mathrm{\varnothing }$。$U_i={\pi }^{-1}(\{p_{\alpha }|\alpha \in A_i\})$、そして、$\{p_{\alpha }|\alpha \in A_i\}$は$T/\pi$上でオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーの定義によって。$T/\pi =\{p_{\alpha }\in T/\pi |\alpha \in A_1\}\cup \{p_{\alpha }\in T/\pi |\alpha \in A_2\}$および$\{p_{\alpha }\in T/\pi |\alpha \in A_1\}\cap \{p_{\alpha }\in T/\pi |\alpha \in A_2\}=\mathrm{\varnothing }$、その一方で、$\{p_{\alpha }\in T/\pi |\alpha \in A_i\}\ne \mathrm{\varnothing }$、$T/\pi$がコネクテッド（連結された）であることに反する矛盾。

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参考資料

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