コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上への非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(\mathbb{C}\)トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(\mathbb{C}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）から\(\mathbb{C}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上への任意の非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
\(\mathbb{C}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）\(f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, c \mapsto c_0 c\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
2: 証明
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、\(c_1 \neq c_2\)である\(c_1, c_2 \in \mathbb{C}\)に対して、\(c_0 c_1 \neq c_0 c_2\)、そして、任意の\(c_1 \in \mathbb{C}\)に対して、\(c_0 c_2 = c_1\)を満たす\(c_2 = c_1 / c_0\)がある。
\(c = r e^{\theta i}\)および\(c_0 = r_0 e^{\theta_0 i}\)。\(c_0 c = r_0 r e^{(\theta_0 + \theta) i}\)。\(\mathbb{R}^2\)上で、\(\begin{pmatrix} r cos \theta \\ r sin \theta \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} r_0 r cos (\theta_0 + \theta) \\ r_0 r sin (\theta_0 + \theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_0 cos \theta_0 r cos \theta - r_0 sin \theta_0 r sin \theta \\ r_0 sin \theta_0 r cos \theta + r_0 cos \theta_0 r sin \theta \end{pmatrix}\)。それは、\(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} r_0 cos \theta_0 x_1 - r_0 sin \theta_0 x_2 \\ r_0 sin \theta_0 x_1 + r_0 cos \theta_0 x_2 \end{pmatrix}\)、それはコンティニュアス（連続）である。したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、\(\mathbb{C}\)トポロジカルスペース（空間）の定義によって。
インバース（逆）\(f^{-1}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\)は\(c \mapsto c_0^{-1} c\)、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）である。
3: 注
\(\mathbb{C}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は\(\mathbb{R}^2\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、ここで、各\(c = r_1 + r_2 i\in \mathbb{C}\)は\((r_1, t_2) \in \mathbb{R}^2\)へマップ（写像）される、である、それが意味するのは、コンプレックス（複素）数たちの任意のセット（集合）はオープン（開）である、もしも、\(\mathbb{R}^2\)上のマップ（写像）されたイメージ（像）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って。
