347: コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上への非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である

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コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上への非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$\mathbb{C}$トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、マルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）の定義を知っている。
• 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$\mathbb{C}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）から$\mathbb{C}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上への任意の非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

$\mathbb{C}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},c\mapsto c_{0}c$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。

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2: 証明

$f$はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、$c_1\ne c_2$である$c_1,c_2\in \mathbb{C}$に対して、$c_0{c}_1\ne c_0{c}_2$、そして、任意の$c_1\in \mathbb{C}$に対して、$c_0{c}_2=c_1$を満たす$c_2=c_1/c_0$がある。

$c=r{e}^{\theta i}$および$c_0=r_0{e}^{{\theta }_{0}i}$。$c_{0}c=r_{0}r{e}^{({\theta }_0+\theta )i}$。${\mathbb{R}}^2$上で、$\left(\begin{array}{c}rcos\theta \\ rsin\theta \end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}{r}_{0}rcos({\theta }_0+\theta )\\ r_{0}rsin({\theta }_0+\theta )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{r}_{0}cos{\theta }_{0}rcos\theta -r_{0}sin{\theta }_{0}rsin\theta \\ r_{0}sin{\theta }_{0}rcos\theta +r_{0}cos{\theta }_{0}rsin\theta \end{array}\right)$。それは、$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}{r}_{0}cos{\theta }_0{x}_1-r_{0}sin{\theta }_0{x}_2\\ r_{0}sin{\theta }_0{x}_1+r_{0}cos{\theta }_0{x}_2\end{array}\right)$、それはコンティニュアス（連続）である。したがって、$f$はコンティニュアス（連続）である、$\mathbb{C}$トポロジカルスペース（空間）の定義によって。

インバース（逆）$f^{-1}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$は$c\mapsto c_0^{-1}c$、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）である。

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3: 注

$\mathbb{C}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は${\mathbb{R}}^2$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、ここで、各$c=r_1+r_{2}i\in \mathbb{C}$は$(r_1,t_2)\in {\mathbb{R}}^2$へマップ（写像）される、である、それが意味するのは、コンプレックス（複素）数たちの任意のセット（集合）はオープン（開）である、もしも、${\mathbb{R}}^2$上のマップ（写像）されたイメージ（像）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って。

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参考資料

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