トポロジカルサブグループ（部分群）のノーマル（正規）サブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルグループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサブグループ（部分群）の任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルグループ（群）\(T_1\)および任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）\(T_2 \subseteq T_1\)に対して、\(T_2\)のクロージャー（閉包）\(\overline{T_2}\)はノーマル（正規）サブグループ（部分群）である。
2: 証明
任意のトポロジカルグループ（群）の任意のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）であるという命題によって、\(\overline{T_2}\)はサブグループ（部分群）である。
それは、任意の\(p_0 \in T_1\)に対して、\(p_0 \overline{T_2} {p_0}^{-1} = \overline{T_2}\)であるという問題である。
\(p_0 \overline{T_2} {p_0}^{-1} \subseteq \overline{T_2}\)であることを証明しよう。任意のトポロジカルグループ（群）のコンジュゲーション（共役）マップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題によって、コンジュゲーション（共役）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_1\)、\(p \mapsto p_0 p {p_0}^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。任意のポイント\(p \in \overline{T_2}\)および\(f (p)\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{f (p)} \subseteq T_1\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T_1\)、つまり、\(f (N_p) \subseteq N_{f (p)}\)、がある。\(p\)が\(T_2\)上のポイントであるにせよ\(T_2\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であるにせよ、あるポイント\(p' \in N_p \cap T_2\)、\(f (p') \in N_{f (p)}\)がある。\(f (p') = p_0 p' {p_0}^{-1} \in T_2\)である、\(T_2\)はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるから。したがって、\(N_{f (p)} \cap T_2 \neq \emptyset\)。したがって、\(f (p)\)は\(T_2\)上のポイントであるか\(T_2\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、\(f (p) = p_0 p {p_0}^{-1} \in \overline{T_2}\)。
\(\overline{T_2} \subseteq p_0 \overline{T_2} {p_0}^{-1}\)であることを証明しよう。前パラグラフによって、\({p_0}^{-1} \overline{T_2} p_0 \subseteq \overline{T_2}\)。したがって、\(\overline{T_2} \subseteq p_0 \overline{T_2} {p_0}^{-1}\)。
