336: トポロジカルサブグループ（部分群）のノーマル（正規）サブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はノーマル（正規）サブグループ（部分群）である

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トポロジカルサブグループ（部分群）のノーマル（正規）サブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルグループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノーマル（正規）サブグループ（部分群）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）の任意のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）のコンジュゲーション（共役）マップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルサブグループ（部分群）の任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルグループ（群）$T_1$および任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）$T_2\subseteq T_1$に対して、$T_2$のクロージャー（閉包）$\overline{T_2}$はノーマル（正規）サブグループ（部分群）である。

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2: 証明

任意のトポロジカルグループ（群）の任意のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）であるという命題によって、$\overline{T_2}$はサブグループ（部分群）である。

それは、任意の$p_0\in T_1$に対して、$p_0\overline{T_2}{p_0}^{-1}=\overline{T_2}$であるという問題である。

$p_0\overline{T_2}{p_0}^{-1}\subseteq \overline{T_2}$であることを証明しよう。任意のトポロジカルグループ（群）のコンジュゲーション（共役）マップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題によって、コンジュゲーション（共役）マップ（写像）$f:T_1\to T_1$、$p\mapsto p_{0}p{p_0}^{-1}$はコンティニュアス（連続）である。任意のポイント$p\in \overline{T_2}$および$f(p)$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_{f(p)}\subseteq T_1$に対して、$p$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T_1$、つまり、$f(N_p)\subseteq N_{f(p)}$、がある。$p$が$T_2$上のポイントであるにせよ$T_2$のアキューミュレーションポイント（集積点）であるにせよ、あるポイント$p^{\prime }\in N_p\cap T_2$、$f(p^{\prime })\in N_{f(p)}$がある。$f(p^{\prime })=p_0{p}^{\prime }{p_0}^{-1}\in T_2$である、$T_2$はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるから。したがって、$N_{f(p)}\cap T_2\ne \mathrm{\varnothing }$。したがって、$f(p)$は$T_2$上のポイントであるか$T_2$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、$f(p)=p_{0}p{p_0}^{-1}\in \overline{T_2}$。

$\overline{T_2}\subseteq p_0\overline{T_2}{p_0}^{-1}$であることを証明しよう。前パラグラフによって、${p_0}^{-1}\overline{T_2}{p}_0\subseteq \overline{T_2}$。したがって、$\overline{T_2}\subseteq p_0\overline{T_2}{p_0}^{-1}$。

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参考資料

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