2023年8月6日日曜日

337: サブグループ（部分群）に関するコセット（剰余類）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）のイメージ（像）のプリイメージ（前像）はサブグループにサブセット（部分集合）を掛けたものである

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サブグループ（部分群）に関するコセット（剰余類）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）のイメージ（像）のプリイメージ（前像）はサブグループにサブセット（部分集合）を掛けたものであることの記述/証明

話題


About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のサブグループ（部分群）に関する左または右コセット（剰余類）マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）のプリイメージ（前像）は当該サブグループ（部分群）に当該サブセット（部分集合）をそれぞれ左または右から掛けたものであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のグループ（群）G1、任意のサブグループ（部分群）G2⊆G1、左または右コセット（剰余類）マップ（写像）π:G1→G1/G2、任意のサブセット（部分集合）S⊆G1に対して、π−1π(S)=SG2またはπ−1π(S)=G2S。

2: 証明


それを左コセット（剰余類）マップ（写像）に対して証明しよう。任意の要素p∈π−1π(S)に対して、π(p)∈π(S)。以下を満たすある要素p′∈S、つまり、π(p)=π(p′)、それが意味するのはpG2=p′G2、がある。したがって、p∈p′G2、したがって、p∈SG2。任意の要素p∈SG2に対して、ある要素p′∈Sに対して、p∈p′G2。任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題によって、pG2=p′G2。π(p)∈π(S)。p∈π−1π(S)。

それを右コセット（剰余類）マップ（写像）に対して証明しよう。任意の要素p∈π−1π(S)に対して、π(p)∈π(S)。以下を満たすある要素p′∈S、つまり、π(p)=π(p′)、それが意味するのは、G2p=G2p′、がある。したがって、p∈G2p′、したがって、p∈G2S。任意の要素p∈G2Sに対して、ある要素p′∈Sに対して、p∈G2p′。任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題によって、G2p=G2p′。π(p)∈π(S)。p∈π−1π(S)。

参考資料
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