348: コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上へのコンジュゲーション（共役）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である

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コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上へのコンジュゲーション（共役）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$\mathbb{C}$トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$\mathbb{C}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）から$\mathbb{C}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上へのコンジュゲーション（共役）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

$\mathbb{C}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、コンジュゲーション（共役）$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},c\mapsto \bar{c}$はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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2: 証明

$f$はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、$c_1\ne c_2$を満たす$c_1,c_2\in \mathbb{C}$に対して、$\overline{c_1}\ne \overline{c_2}$、そして、任意の$c_1\in \mathbb{C}$に対して、$\overline{c_2}=c_1$を満たす$c_2=\overline{c_1}$がある。

$c=r{e}^{\theta i}$。$\bar{c}=r{e}^{-\theta i}$。${\mathbb{R}}^2$上で、$\left(\begin{array}{c}rcos\theta \\ rsin\theta \end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}rcos\theta \\ -rsin\theta \end{array}\right)$。それは、$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ -x_2\end{array}\right)$、それはコンティニュアス（連続）である。したがって、$f$はコンティニュアス（連続）である、$\mathbb{C}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義によって。

インバース（逆）$f^{-1}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$は$c\mapsto \bar{c}$、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それはコンジュゲーション（共役）であるから。

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3: 注

$\mathbb{C}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は${\mathbb{R}}^2$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、ここで、各$c=r_1+r_{2}i\in \mathbb{C}$は$(r_1,t_2)\in {\mathbb{R}}^2$へマップ（写像）される、である、それが意味するのは、コンプレックス（複素）数たちの任意のセット（集合）はオープン（開）である、もしも、${\mathbb{R}}^2$上のマップ（写像）されたイメージ（像）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って。

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参考資料

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