349: コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクウォシェント（商）スペース（空間）はコンパクトである

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コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクウォシェント（商）スペース（空間）はコンパクトであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクウォシェント（商）スペース（空間）はコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）$T_1$に対して、以下を満たす任意のクオシエント（商）スペース（空間）$T_2$、つまり、$f:T_1\to T_2$、ここで、$f$はクオシエント（商）マップ（写像）、はコンパクトである。

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2: 証明

$\{U_{\alpha }\}$は$T_2$の以下を満たす任意のオープンカバー（開被覆）、つまり、${\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }=T_2$、であるとしよう。各$f^{-1}(U_{\alpha })$は$T_1$上でオープン（開）である、クオシエント（商）トポロジーの定義によって。$\{f^{-1}(U_{\alpha })\}$は$T_1$をカバーする、なぜなら、$f^{-1}(T_2)=T_1=f^{-1}({\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha })={\cup }_{\alpha }{f}^{-1}(U_{\alpha })$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。したがって、$\{f^{-1}(U_{\alpha })\}$は$T_1$のオープンカバー（開被覆）である。$T_1$はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー$\{f^{-1}(U_i)\}$がある。$\{U_i\}$は$T_2$のカバーであるか？各$i$に対して$p\notin U_i$を満たすある$p\in T_2$があったと仮定しよう。すると、$f^{-1}(p)\cap f^{-1}(U_i)=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、もしも、$p^{\prime }\in f^{-1}(p)\cap f^{-1}(U_i)$であったら、$f(p^{\prime })=p$および$f(p^{\prime })\in U_i$、それは、$p\in U_i$を意味するだろう、矛盾。しかし、$f$はサージェクティブ（全射）であるから、$p^{\prime }\in f^{-1}(p)$があることになり、$p^{\prime }\notin {\cup }_i{f}^{-1}(U_i)$、したがって、$\{f^{-1}(U_i)\}$は$T_1$のオープンカバー（開被覆）ではないことになる、矛盾。したがって、$\{U_i\}$は$\{U_{\alpha }\}$のファイナイト（有限）サブカバーである。任意のオープンカバー（開被覆）に対して、あるファイナイト（有限）サブカバーがあるから、$T_2$はコンパクトである。

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参考資料

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