コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクウォシェント（商）スペース（空間）はコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクウォシェント（商）スペース（空間）はコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)に対して、以下を満たす任意のクオシエント（商）スペース（空間）\(T_2\)、つまり、\(f: T_1 \rightarrow T_2\)、ここで、\(f\)はクオシエント（商）マップ（写像）、はコンパクトである。
2: 証明
\(\{U_\alpha\}\)は\(T_2\)の以下を満たす任意のオープンカバー（開被覆）、つまり、\(\cup_\alpha U_\alpha = T_2\)、であるとしよう。各\(f^{-1} (U_\alpha)\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、クオシエント（商）トポロジーの定義によって。\(\{f^{-1} (U_\alpha)\}\)は\(T_1\)をカバーする、なぜなら、\(f^{-1} (T_2) = T_1 = f^{-1} (\cup_\alpha U_\alpha) = \cup_\alpha f^{-1} (U_\alpha)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。したがって、\(\{f^{-1} (U_\alpha)\}\)は\(T_1\)のオープンカバー（開被覆）である。\(T_1\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー\(\{f^{-1} (U_i)\}\)がある。\(\{U_i\}\)は\(T_2\)のカバーであるか？各\(i\)に対して\(p \notin U_i\)を満たすある\(p \in T_2\)があったと仮定しよう。すると、\(f^{-1} (p) \cap f^{-1} (U_i) = \emptyset\)、なぜなら、もしも、\(p' \in f^{-1} (p) \cap f^{-1} (U_i)\)であったら、\(f (p') = p\)および\(f (p') \in U_i\)、それは、\(p \in U_i\)を意味するだろう、矛盾。しかし、\(f\)はサージェクティブ（全射）であるから、\(p' \in f^{-1} (p)\)があることになり、\(p' \notin \cup_i f^{-1} (U_i)\)、したがって、\(\{f^{-1} (U_i)\}\)は\(T_1\)のオープンカバー（開被覆）ではないことになる、矛盾。したがって、\(\{U_i\}\)は\(\{U_\alpha\}\)のファイナイト（有限）サブカバーである。任意のオープンカバー（開被覆）に対して、あるファイナイト（有限）サブカバーがあるから、\(T_2\)はコンパクトである。
