338: サブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の要素によるコセット（剰余類）はコセット（剰余類）に等しい、もしも、要素が後者コセット（剰余類）のメンバーである場合、そしてその場合に限って

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サブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の要素によるコセット（剰余類）はコセット（剰余類）に等しい、もしも、要素が後者コセット（剰余類）のメンバーである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のグループ（群）$G_1$、任意のサブグループ（部分群）$G_2\subseteq G_1$、任意の要素$p^{\prime }\in G_1$に対して、左または右コセット（剰余類）は$p^{\prime }{G}_2=p{G}_2$または$G_2{p}^{\prime }=G_{2}p$、もしも、それぞれ$p^{\prime }\in p{G}_2$または$p^{\prime }\in G_{2}p$である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$p^{\prime }\in p{G}_2$であると仮定しよう。ある$q^{\prime }\in G_2$に対して、$p^{\prime }=p{q}^{\prime }$。任意の$q\in G_2$に対して、$p^{\prime }q=p{q}^{\prime }q\in p{G}_2$、したがって、$p^{\prime }{G}_2\subseteq p{G}_2$。$p=p^{\prime }{q}^{\prime -1}$であるから、$p\in p^{\prime }{G}_2$、したがって、同様に、$p{G}_2\subseteq p^{\prime }{G}_2$。したがって、$p{G}_2=p^{\prime }{G}_2$。

$p^{\prime }\in G_{2}p$だと仮定しよう。ある$q^{\prime }\in G_2$に対して、$p^{\prime }=q^{\prime }p$。任意の$q\in G_2$に対して、$q{p}^{\prime }=q{q}^{\prime }p\in G_{2}p$、したがって、$G_2{p}^{\prime }\subseteq G_{2}p$。$p=q^{\prime -1}{p}^{\prime }$であるから、$p\in G_2{p}^{\prime }$、したがって、同様に、$G_{2}p\subseteq G_2{p}^{\prime }$。したがって、$G_{2}p=G_2{p}^{\prime }$。

$p^{\prime }{G}_2=p{G}_2$だと仮定しよう。$p^{\prime }\in p{G}_2$、なぜなら、$e\in G_2$。

$G_2{p}^{\prime }=G_{2}p$だと仮定しよう。$p^{\prime }\in G_{2}p$、なぜなら、$e\in G_2$。

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参考資料

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