サブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の要素によるコセット（剰余類）はコセット（剰余類）に等しい、もしも、要素が後者コセット（剰余類）のメンバーである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のグループ（群）\(G_1\)、任意のサブグループ（部分群）\(G_2 \subseteq G_1\)、任意の要素\(p' \in G_1\)に対して、左または右コセット（剰余類）は\(p' G_2 = p G_2\)または\(G_2 p' = G_2 p\)、もしも、それぞれ\(p' \in p G_2\)または\(p' \in G_2 p\)である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(p' \in p G_2\)であると仮定しよう。ある\(q' \in G_2\)に対して、\(p' = p q'\)。任意の\(q \in G_2\)に対して、\(p' q = p q' q \in p G_2\)、したがって、\(p' G_2 \subseteq p G_2\)。\(p = p' q'^{-1}\)であるから、\(p \in p' G_2\)、したがって、同様に、\(p G_2 \subseteq p' G_2\)。したがって、\(p G_2 = p' G_2\)。
\(p' \in G_2 p\)だと仮定しよう。ある\(q' \in G_2\)に対して、\(p' = q' p\)。任意の\(q \in G_2\)に対して、\(q p' = q q' p \in G_2 p\)、したがって、\(G_2 p' \subseteq G_2 p\)。\(p = q'^{-1} p'\)であるから、\(p \in G_2 p'\)、したがって、同様に、\(G_2 p \subseteq G_2 p'\)。したがって、\(G_2 p = G_2 p'\)。
\(p' G_2 = p G_2\)だと仮定しよう。\(p' \in p G_2\)、なぜなら、\(e \in G_2\)。
\(G_2 p' = G_2 p\)だと仮定しよう。\(p' \in G_2 p\)、なぜなら、\(e \in G_2\)。
