グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\( G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\( g'\): \(\in G'\)
\(*g' G\): \(= G \text{ の } g' \text{ による左コセット（剰余類） }\)
\(*G g'\): \(= G \text{ の } g' \text{ による右コセット（剰余類） }\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
任意の\(g'_1, g'_2 \in G'\)に対して、\(g'_1 G \cap g'_2 G = \emptyset\)または\(g'_1 G = g'_2 G\): \(g'_1 G \cap g'_2 G \neq \emptyset\)である時、ある\(g'_3 \in g'_1 G \cap g'_2 G\)があり、\(g'_1 G = g'_3 G = g'_2 G\)、任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題によって。
同様に、任意の\(g'_1, g'_2 \in G'\)に対して、\(G g'_1 \cap G g'_2 = \emptyset\)または\(G g'_1 = G g'_2\)。
\(\vert g' G \vert = \vert G \vert\): 以下を満たす各\(g_1, g_2 \in G\)、つまり、\(g_1 \neq g_2\)、に対して、\(g' g_1 \neq g' g_2\)、なぜなら、\(g' g_1 = g' g_2\)であると仮定すると、\(g_1 = {g'}^{-1} g' g_1 = {g'}^{-1} g' g_2 = g_2\)、矛盾。
同様に、\(\vert G g' \vert = \vert G \vert\)。
