868: グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）|T.B.P.日本語版

2024年11月17日日曜日

868: グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義

話題

About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 注

開始コンテキスト

読者は、グループ（群）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

G^{'}

:

\in {全てのグループ（群）たち}

G

:

\in {G^{'} の全てのサブグループ（部分群）たち}

g^{'}

:

\in G^{'}

* g^{'} G

:

= G の g^{'} による左コセット（剰余類）

* G g^{'}

:

= G の g^{'} による右コセット（剰余類）

//

コンディションたち:
//

2: 注

任意の

g_{1}^{'}, g_{2}^{'} \in G^{'}

に対して、

g_{1}^{'} G \cap g_{2}^{'} G = \emptyset

または

g_{1}^{'} G = g_{2}^{'} G

:

g_{1}^{'} G \cap g_{2}^{'} G \neq \emptyset

である時、ある

g_{3}^{'} \in g_{1}^{'} G \cap g_{2}^{'} G

があり、

g_{1}^{'} G = g_{3}^{'} G = g_{2}^{'} G

、任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題によって。

同様に、任意の

g_{1}^{'}, g_{2}^{'} \in G^{'}

に対して、

G g_{1}^{'} \cap G g_{2}^{'} = \emptyset

または

G g_{1}^{'} = G g_{2}^{'}

。

| g^{'} G | = | G |

: 以下を満たす各

g_{1}, g_{2} \in G

、つまり、

g_{1} \neq g_{2}

、に対して、

g^{'} g_{1} \neq g^{'} g_{2}

、なぜなら、

g^{'} g_{1} = g^{'} g_{2}

であると仮定すると、

g_{1} = {g^{'}}^{- 1} g^{'} g_{1} = {g^{'}}^{- 1} g^{'} g_{2} = g_{2}

、矛盾。

同様に、

| G g^{'} | = | G |

。

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>