\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、マップ（写像）の、エンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）およびエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、コドメイン（余域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含むの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、任意のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）および任意のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、コドメイン（余域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M'_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{M'_1 \text{ の全てのエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{M'_2 \text{ の全てのエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\iota_1\): \(: M_1 \to M'_1\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(\iota_2\): \(: M_2 \to M'_2\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(f'\): \(: M'_1 \to M'_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)で、\(f' (\iota_1 (M_1)) \subseteq \iota_2 (M_2)\)を満たすもの
\(f\): \( = f' \vert_{M_1}: M_1 \to M_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f'' := f' \circ \iota_1: M_1 \to M'_2\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ2: \(f''\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(f''': M_1 \to f'' (M_1) \subseteq M'_2\)、\(\iota_2\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\({\iota_2}': M_2 \to \iota_2 (M_2) \subseteq M'_2\)、そのインバース（逆）\({\iota_2}'^{-1}: \iota_2 (M_2) \to M_2\)を取り、\(f = {\iota_2}'^{-1} \circ f'''\)であり\(f\)は\(C^\infty\)であることを見る。
ステップ1:
\(\iota_1\)は\(C^\infty\)である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。
\(f'' := f' \circ \iota_1: M_1 \to M'_2\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
ステップ2:
\(f''' :M_1 \to f'' (M_1) \subseteq M'_2\)を\(f''\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。
\(f'''\)は\(C^\infty\)である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\({\iota_2}': M_2 \to \iota_2 (M_2) \subseteq M'_2\)を\(\iota_2\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。
そのインバース（逆）を\({\iota_2}'^{-1}: \iota_2 (M_2) \to M_2\)としよう、それは妥当で\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であるという命題によって。
\(f'' (M_1) \subseteq \iota_2 (M_2)\)、なぜなら、\(f'' (M_1) = f' \circ \iota_1 (M_1) = f' (\iota_1 (M_1)) \subseteq \iota_2 (M_2)\)。
したがって、\({\iota_2}'^{-1} \circ f''': M_1 \to M_2\)は妥当である、そして、\(= f\)、なぜなら、\({\iota_2}'^{-1} \circ f''' = {\iota_2}'^{-1} \circ f' \circ \iota_1\)。
\({\iota_2}'^{-1} \circ f'''\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
したがって、\(f\)は\(C^\infty\)である。
