366: $C^\infty$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の$C^\infty$マップ（写像）に対して、マップ（写像）の、エンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）およびエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、コドメイン（余域）上のリストリクション（制限）は$C^\infty$である|T.B.P.日本語版

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C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の

C^{\infty}

マップ（写像）に対して、マップ（写像）の、エンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）およびエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、コドメイン（余域）上のリストリクション（制限）は

C^{\infty}

であることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の $C^{\infty}$ マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、任意のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）および任意のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、コドメイン（余域）上のリストリクション（制限）は $C^{\infty}$ であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

M_{1}^{'}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M_{2}^{'}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M_{1}

\in {M_{1}^{'} の全てのエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M_{2}

\in {M_{2}^{'} の全てのエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

ι_{1}

: M_{1} \to M_{1}^{'}

= 当該インクルージョン（封入）

ι_{2}

: M_{2} \to M_{2}^{'}

= 当該インクルージョン（封入）

f^{'}

: M_{1}^{'} \to M_{2}^{'}

\in {全ての C^{\infty} マップ（写像）たち}

で、

f^{'} (ι_{1} (M_{1})) \subseteq ι_{2} (M_{2})

を満たすもの

f

= f^{'} |_{M_{1}} : M_{1} \to M_{2}

//

ステートメント（言明）たち:

f \in {全ての C^{\infty} マップ（写像）たち}

2: 証明

全体戦略: ステップ1:

f^{″} := f^{'} \circ ι_{1} : M_{1} \to M_{2}^{'}

は

C^{\infty}

であることを見る; ステップ2:

f^{″}

のコドメイン（余域）リストリクション（制限）

f^{‴} : M_{1} \to f^{″} (M_{1}) \subseteq M_{2}^{'}

、

ι_{2}

のコドメイン（余域）リストリクション（制限）

{ι_{2}}^{'} : M_{2} \to ι_{2} (M_{2}) \subseteq M_{2}^{'}

、そのインバース（逆）

{ι_{2}}^{' - 1} : ι_{2} (M_{2}) \to M_{2}

を取り、

f = {ι_{2}}^{' - 1} \circ f^{‴}

であり

f

は

C^{\infty}

であることを見る。

ステップ1:

ι_{1}

は

C^{\infty}

である、

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。

f^{″} := f^{'} \circ ι_{1} : M_{1} \to M_{2}^{'}

は

C^{\infty}

である、任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて

C^{k}

であるものたち、ここで、

k

は

\infty

を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて

C^{k}

であるという命題によって。

ステップ2:

f^{‴} : M_{1} \to f^{″} (M_{1}) \subseteq M_{2}^{'}

を

f^{″}

のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。

f^{‴}

は

C^{\infty}

である、任意のバウンダリー（境界）付き

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて

C^{k}

であるもの、ここで、

k

は

\infty

を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて

C^{k}

であるという命題によって。

{ι_{2}}^{'} : M_{2} \to ι_{2} (M_{2}) \subseteq M_{2}^{'}

を

ι_{2}

のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。

そのインバース（逆）を

{ι_{2}}^{' - 1} : ι_{2} (M_{2}) \to M_{2}

としよう、それは妥当で

C^{\infty}

である、任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は

C^{\infty}

であるという命題によって。

f^{″} (M_{1}) \subseteq ι_{2} (M_{2})

、なぜなら、

f^{″} (M_{1}) = f^{'} \circ ι_{1} (M_{1}) = f^{'} (ι_{1} (M_{1})) \subseteq ι_{2} (M_{2})

。

したがって、

{ι_{2}}^{' - 1} \circ f^{‴} : M_{1} \to M_{2}

は妥当である、そして、

= f

、なぜなら、

{ι_{2}}^{' - 1} \circ f^{‴} = {ι_{2}}^{' - 1} \circ f^{'} \circ ι_{1}

。

{ι_{2}}^{' - 1} \circ f^{‴}

は

C^{\infty}

である、任意の

C^{\infty}

C^{k}

であるものたち、ここで、

k

は

\infty

を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて

C^{k}

であるという命題によって。

したがって、

f

は

C^{\infty}

である。

参考資料

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2023年9月17日日曜日

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オリエンテーション

本体

1: 構造化された記述

2: 証明

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