\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、マップ（写像）の、レギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）およびレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、レギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）および任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M'_1, M'_2\)、任意の\(C^\infty\)マップ（写像）\(f': M'_1 \rightarrow M'_2\)、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M_1 \subseteq M'_1\)、以下を満たす任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M_2 \subseteq M'_2\)、つまり、\(f' (M_1) \subseteq M_2\)、に対して、\(f = f'\vert_{M_1}: M_1 \rightarrow M_2\)は\(C^\infty\)である。
2: 証明
\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、そして、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
任意のポイント\(p \in M_1\)の周りに、以下を満たすあるアダプテッドチャートたち\((U'_p \subseteq M'_1, \phi'_p)\)および\((U'_{f' (p)} \subseteq M'_2, \phi'_{f' (p)})\)、つまり、\(f' (U'_p) \subseteq U'_{f' (p)}\)、がある、なぜなら、\(f'\)はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(N'_p \subseteq M'_1\)、つまり、\(f' (N'_p) \subseteq U'_{f' (p)}\)、があり、もしも、\(\lnot f' (U'_p) \subseteq U'_{f' (p)}\)であれば、\(f' (U'_p \cap N'_p) \subseteq U'_{f' (p)}\)で、\((U'_p \cap N'_p, \phi'_p\vert_{U'_p \cap N'_p})\)を代わりにアダプテッドチャートとできる。対応するアダプティングチャートたち\((U_p \subseteq M_1, \phi_p)\)および\((U_{f (p)} \subseteq M_2, \phi_{f (p)})\)がある。\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、なぜなら、\(f (U_p) = f' (U_p) = f' (U'_p \cap M_1) \subseteq U'_{f' (p)} \cap M_2 = U_{f (p)}\)。\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi_p}^{-1}, (x^1, x^2 , . . ., x^{d_1}) \mapsto (y^1, y^2, . . ., y^{d_2})\)は\(\phi'_{f' (p)} \circ f' \circ {\phi'_p}^{-1}, (x^1, x^2 , . . ., x^{d_1}, x^{d_1 + 1}, x^{d_1 + 2}, . . ., x^{d'_1}) \mapsto (y^1, y^2, . . ., y^{d_2}, y^{d_2 + 1}, y^{d_2 + 2}, . . ., y^{d'_2})\)の、ドメイン（定義域）を\((x^{d_1 + 1}, x^{d_1 + 2}, . . ., x^{d'_1}) = (0, 0, . . ., 0)\)としコドメイン（余域）を\((y^{d_2 + 1}, y^{d_2 + 2}, . . ., y^{d'_2}) = (0., 0, . . ., 0)\)とするリストリクション（制限）であり、\(C^\infty\)である。
