\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、スーパーマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）であり、オープンサブセット（開部分集合）とレギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）はオープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はカノニカル（自然）に\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）であり、当該オープンサブセット（開部分集合）と当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M'\)、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M \subseteq M'\)に対して、任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U' \subseteq M'\)は、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびリストリクテッド（制限された）アトラスたちを持って\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）であり、\(U' \cap M\)は\(U'\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である。
2: 証明
\(U'\)はハウスドルフスペース（空間）のサブスペース（部分空間）としてハウスドルフであり、セカンドカウンタブル（可算）である、なぜなら、\(U'\)に対するベーシス（基底）は\(M'\)に対するカウンタブル（可算）ベーシス（基底）と\(U'\)のインターセクション（共通集合）である、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題によって、そして、ローカルにユークリディアンである、なぜなら、任意のポイント\(p' \in U'\)の周りに、\(M'\)上の、\(U'\)に包含されたあるオープンネイバーフッド（開近傍）がある。\(M'\)に対するアトラスのリストリクション（制限）は\(U'\)に対する\(C^\infty\)アトラスである、なぜなら、\(M'\)に対する任意のチャートと\(U'\)のインターセクション（共通集合）は\(U'\)に対するチャートであり、トランジションファンクション（関数）たちは\(C^\infty\)であり、チャートたちは\(U'\)をカバーする。したがって、\(U'\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）である。
任意のポイント\(p \in U' \cap M\)に対して、あるアダプテッドチャート\((U'_p \subseteq U' \subseteq M', \phi'_p)\)があり、\((U'_p \cap M, \phi'_p \vert_{U'_p \cap M})\)が対応するアダプティングチャートである。\((U'_p, \phi'_p)\)を\(U' \cap M\)に対してもアダプテッドチャートとして取ることができる、なぜなら、\(U'_p \cap (U' \cap M) = U'_p \cap M\)、それは、\(U'_p\)のサブセット（部分集合）でその\(\phi'_p\)下のイメージ（像）が\(\phi'_p (U'_p)\)のスライスであるものに等しい。
