367: C^\inftyマニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、スーパーマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）はC^\inftyマニフォールド（多様体）であり、オープンサブセット（開部分集合）とレギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）はオープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、スーパーマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）は$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）であり、オープンサブセット（開部分集合）とレギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）はオープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、レギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はカノニカル（自然）に$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）であり、当該オープンサブセット（開部分集合）と当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M^{\prime }$、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）$M\subseteq M^{\prime }$に対して、任意のオープンサブセット（開部分集合）$U^{\prime }\subseteq M^{\prime }$は、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびリストリクテッド（制限された）アトラスたちを持って$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）であり、$U^{\prime }\cap M$は$U^{\prime }$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である。

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2: 証明

$U^{\prime }$はハウスドルフスペース（空間）のサブスペース（部分空間）としてハウスドルフであり、セカンドカウンタブル（可算）である、なぜなら、$U^{\prime }$に対するベーシス（基底）は$M^{\prime }$に対するカウンタブル（可算）ベーシス（基底）と$U^{\prime }$のインターセクション（共通集合）である、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題によって、そして、ローカルにユークリディアンである、なぜなら、任意のポイント$p^{\prime }\in U^{\prime }$の周りに、$M^{\prime }$上の、$U^{\prime }$に包含されたあるオープンネイバーフッド（開近傍）がある。$M^{\prime }$に対するアトラスのリストリクション（制限）は$U^{\prime }$に対する$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスである、なぜなら、$M^{\prime }$に対する任意のチャートと$U^{\prime }$のインターセクション（共通集合）は$U^{\prime }$に対するチャートであり、トランジションファンクション（関数）たちは$C^{\mathrm{\infty }}$であり、チャートたちは$U^{\prime }$をカバーする。したがって、$U^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）である。

任意のポイント$p\in U^{\prime }\cap M$に対して、あるアダプテッドチャート$(U_p^{\prime }\subseteq U^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }_p^{\prime })$があり、$(U_p^{\prime }\cap M,{\varphi }_p^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap M})$が対応するアダプティングチャートである。$(U_p^{\prime },{\varphi }_p^{\prime })$を$U^{\prime }\cap M$に対してもアダプテッドチャートとして取ることができる、なぜなら、$U_p^{\prime }\cap (U^{\prime }\cap M)=U_p^{\prime }\cap M$、それは、$U_p^{\prime }$のサブセット（部分集合）でその${\varphi }_p^{\prime }$下のイメージ（像）が${\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime })$のスライスであるものに等しい。

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参考資料

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