コンパクトトポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）はプロパーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）はプロパーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）\(T_2\)に対して、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)はプロパーである。
2: 証明
\(S \subseteq T_2\)は任意のコンパクトサブセット（部分集合）であるとしよう。\(S\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。\(f^{-1} (S)\)はクローズド（閉）である。\(f^{-1} (S)\)はコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。
