ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々がコンパクトサブセット（部分集合）を包含するものがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）およびその任意の2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々が当該コンパクトサブセット（部分集合）たちの内の1つを包含するものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）\(T\)および以下を満たす任意のディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たち\(S_1, S_2 \subseteq T\)、つまり、\(S_1 \cap S_2 = \emptyset\)、に対して、以下を満たすオープンサブセット（開部分集合）たち\(U_1, U_2 \subseteq T\)、つまり、\(S_i \subseteq U_i\)および\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、がある。
2: 証明
任意のポイント\(p_{2, \alpha} \in S_2\)に対して、各ポイント\(p_{1, \beta} \in S_1\)に対して、ディスジョイント（互いに素な）オープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_{p_{1, \beta}} \cap U_{p_{2, \alpha, \beta}} = \emptyset\)がある。\(\{U_{p_{1, \beta}}\}\)は\(S_1\)のオープンカバー（開被覆）でありあるファイナイト（有限）サブカバー\(\{U_{p_{1, i}}\}\)を持つ。対応する\(\{U_{p_{2, \alpha, i}}\}\)がある。\(U_{p_{1, \alpha}} := \cup_{i} U_{p_{1, i}}\)および\(U_{p_{2, \alpha}} := \cap U_{p_{2, \alpha, i}}\)、ここで、\(U_{p_{1, \alpha}}\)は\(\alpha\)でインデックス付けされている、なぜなら、それは\(p_{2, \alpha}\)に依存する、を定義しよう。\(U_{p_{i, \alpha}}\)はオープン（開）であり\(U_{p_{2, \alpha}}\)は非空（なぜなら、\(p_{2, \alpha}\)が包含されている）オープン（開）である。\(S_1 \subseteq U_{p_{1, \alpha}}\)および\(U_{p_{1, \alpha}} \cap U_{p_{2, \alpha}} = \emptyset\)、なぜなら、任意の\(p \in U_{p_{2, \alpha}}\)に対して、各\(i\)に対して\(p \in U_{p_{2, \alpha, i}}\)であり各\(i\)に対して\(p \notin U_{p_{1, i}}\)である。
\(\{U_{p_{2, \alpha}}\}\)、ここで、\(\alpha\)が動かされる、は\(S_2\)のオープンカバー（開被覆）でありあるファイナイト（有限）サブカバー\(\{U_{p_{2, i}}\}\)を持ち、対応する\(U_{p_{1, i}}\)がある。\(U_1 := \cap_{i} U_{p_{1, i}}\)および\(U_2 := \cup_{i} U_{p_{2, i}}\)、両方ともオープン（開）、を定義しよう。\(S_1 \subseteq U_1\)および\(S_2 \subseteq U_2\)。\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)、なぜなら、任意の\(p \in U_1\)に対して、各\(i\)に対して\(p \in U_{p_{1, i}}\)であり各\(i\)に対して\(p \notin U_{p_{2, i}}\)である。
