388: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々がコンパクトサブセット（部分集合）を包含するものがある

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ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々がコンパクトサブセット（部分集合）を包含するものがあることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、コンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）およびその任意の2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々が当該コンパクトサブセット（部分集合）たちの内の1つを包含するものがあるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）$T$および以下を満たす任意のディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たち$S_1,S_2\subseteq T$、つまり、$S_1\cap S_2=\mathrm{\varnothing }$、に対して、以下を満たすオープンサブセット（開部分集合）たち$U_1,U_2\subseteq T$、つまり、$S_i\subseteq U_i$および$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、がある。

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2: 証明

任意のポイント$p_{2,\alpha }\in S_2$に対して、各ポイント$p_{1,\beta }\in S_1$に対して、ディスジョイント（互いに素な）オープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_{p_{1,\beta }}\cap U_{p_{2,\alpha ,\beta }}=\mathrm{\varnothing }$がある。$\{U_{p_{1,\beta }}\}$は$S_1$のオープンカバー（開被覆）でありあるファイナイト（有限）サブカバー$\{U_{p_{1,i}}\}$を持つ。対応する$\{U_{p_{2,\alpha ,i}}\}$がある。$U_{p_{1,\alpha }}:={\cup }_i{U}_{p_{1,i}}$および$U_{p_{2,\alpha }}:=\cap U_{p_{2,\alpha ,i}}$、ここで、$U_{p_{1,\alpha }}$は$\alpha$でインデックス付けされている、なぜなら、それは$p_{2,\alpha }$に依存する、を定義しよう。$U_{p_{i,\alpha }}$はオープン（開）であり$U_{p_{2,\alpha }}$は非空（なぜなら、$p_{2,\alpha }$が包含されている）オープン（開）である。$S_1\subseteq U_{p_{1,\alpha }}$および$U_{p_{1,\alpha }}\cap U_{p_{2,\alpha }}=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、任意の$p\in U_{p_{2,\alpha }}$に対して、各$i$に対して$p\in U_{p_{2,\alpha ,i}}$であり各$i$に対して$p\notin U_{p_{1,i}}$である。

$\{U_{p_{2,\alpha }}\}$、ここで、$\alpha$が動かされる、は$S_2$のオープンカバー（開被覆）でありあるファイナイト（有限）サブカバー$\{U_{p_{2,i}}\}$を持ち、対応する$U_{p_{1,i}}$がある。$U_1:={\cap }_i{U}_{p_{1,i}}$および$U_2:={\cup }_i{U}_{p_{2,i}}$、両方ともオープン（開）、を定義しよう。$S_1\subseteq U_1$および$S_2\subseteq U_2$。$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、任意の$p\in U_1$に対して、各$i$に対して$p\in U_{p_{1,i}}$であり各$i$に対して$p\notin U_{p_{2,i}}$である。

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参考資料

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