387: トポロジカルスペース（空間）に対して、スペース（空間）のオープン（開）でクローズド（閉）なサブセット（部分集合）はスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルスペース（空間）に対して、スペース（空間）のオープン（開）でクローズド（閉）なサブセット（部分集合）はスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは当該トポロジカルスペース（空間）のパーティション（分割）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちはそれおよび空集合だけである場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（写像）はコドメイン（余域）上でコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のオープン（開）でクローズド（閉）なサブセット（部分集合）は当該トポロジカルスペース（空間）のいくつかのコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意のオープン（開）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）$S\subseteq T$は$T$のいくつかのコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）である。

---

2: 証明

もしも、$S=T$または$S=\mathrm{\varnothing }$である場合、当命題は真である、なぜなら、任意のトポロジカルスペース（空間）は全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）であるから、任意のトポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは当該トポロジカルスペース（空間）のパーティション（分割）であるという命題によって。

$S$は任意の非空プロパーサブセット（真部分集合）であると仮定しよう。$T$はコネクテッド（連結された）でない、任意のトポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちはそれおよび空集合だけである場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

$S$を$T$のトポロジカルサブスペース（部分空間）として考えよう。$S$は$S$の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち$\{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$のユニオン（和集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは当該トポロジカルスペース（空間）のパーティション（分割）であるという命題によって。問題は、$S$の任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントは$T$のコネクテッド（連結された）コンポーネントであるか？インクルージョン（封入）$\iota :S\to T$のことを考えよう。$\iota$はコンティニュアス（連続）であるので、任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントのイメージ（像）$\iota (C_{\alpha })=C_{\alpha }$は$T$上でコネクテッド（連結された）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（写像）はコドメイン（余域）上でコネクテッド（連結された）であるという命題によって。したがって、$T$は以下を満たす等しいかより大きい対応するコネクテッド（連結された）コンポーネント$C_{\alpha }^{\prime }$、つまり、$C_{\alpha }\subseteq C_{\alpha }^{\prime }$、を持つ、しかし、$C_{\alpha }^{\prime }\subseteq S$、なぜなら、さもなければ、$C_{\alpha }^{\prime }\cap S$および$C_{\alpha }^{\prime }\cap (T\setminus S)$はサブスペース（部分空間）$C_{\alpha }^{\prime }$の非空オープン（空）サブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ペアでそのユニオン（和集合）が$C_{\alpha }^{\prime }$であるものであることになる、$C_{\alpha }^{\prime }$がコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）であることに反する矛盾。しかし、$C_{\alpha }^{\prime }$は$S$上でコネクテッド（連結された）である、なぜなら、もしも、$C_{\alpha }^{\prime }=U_1\cup U_2$、ここで、$U_i\subseteq S$は$S$上で非空オープン（開）である、である場合、$U_i$は$T$上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって、そして、もしも、$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$であったら、$C_{\alpha }^{\prime }$は$T$上でディスコネクテッド（連結されていない）であることになる、矛盾。したがって、$C_{\alpha }=C_{\alpha }^{\prime }$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>