トポロジカルスペース（空間）に対して、スペース（空間）のオープン（開）でクローズド（閉）なサブセット（部分集合）はスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは当該トポロジカルスペース（空間）のパーティション（分割）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちはそれおよび空集合だけである場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（写像）はコドメイン（余域）上でコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のオープン（開）でクローズド（閉）なサブセット（部分集合）は当該トポロジカルスペース（空間）のいくつかのコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意のオープン（開）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)は\(T\)のいくつかのコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）である。
2: 証明
もしも、\(S = T\)または\(S = \emptyset\)である場合、当命題は真である、なぜなら、任意のトポロジカルスペース（空間）は全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）であるから、任意のトポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは当該トポロジカルスペース（空間）のパーティション（分割）であるという命題によって。
\(S\)は任意の非空プロパーサブセット（真部分集合）であると仮定しよう。\(T\)はコネクテッド（連結された）でない、任意のトポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）なサブセット（部分集合）たちはそれおよび空集合だけである場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
\(S\)を\(T\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）として考えよう。\(S\)は\(S\)の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち\(\{C_\alpha\vert \alpha \in A\}\)のユニオン（和集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちは当該トポロジカルスペース（空間）のパーティション（分割）であるという命題によって。問題は、\(S\)の任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントは\(T\)のコネクテッド（連結された）コンポーネントであるか？インクルージョン（封入）\(\iota: S \rightarrow T\)のことを考えよう。\(\iota\)はコンティニュアス（連続）であるので、任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントのイメージ（像）\(\iota (C_\alpha) = C_\alpha\)は\(T\)上でコネクテッド（連結された）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）の任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（写像）はコドメイン（余域）上でコネクテッド（連結された）であるという命題によって。したがって、\(T\)は以下を満たす等しいかより大きい対応するコネクテッド（連結された）コンポーネント\(C'_\alpha\)、つまり、\(C_\alpha \subseteq C'_\alpha\)、を持つ、しかし、\(C'_\alpha \subseteq S\)、なぜなら、さもなければ、\(C'_\alpha \cap S\)および\(C'_\alpha \cap (T \setminus S)\)はサブスペース（部分空間）\(C'_\alpha\)の非空オープン（空）サブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ペアでそのユニオン（和集合）が\(C'_\alpha\)であるものであることになる、\(C'_\alpha\)がコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）であることに反する矛盾。しかし、\(C'_\alpha\)は\(S\)上でコネクテッド（連結された）である、なぜなら、もしも、\(C'_\alpha = U_1 \cup U_2\)、ここで、\(U_i \subseteq S\)は\(S\)上で非空オープン（開）である、である場合、\(U_i\)は\(T\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって、そして、もしも、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)であったら、\(C'_\alpha\)は\(T\)上でディスコネクテッド（連結されていない）であることになる、矛盾。したがって、\(C_\alpha = C'_\alpha\)。
