407: C∞ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）がある

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ランク$k$の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題を認めている。
• 読者は、the proposition that for any map between any arbitrary subsets of any $C^{\mathrm{\infty }}$ manifolds with boundary $C^k$ at any point, where $k$ includes $\mathrm{\infty }$, the restriction on any domain that contains the point is $C^k$ at the pointを認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,M,\pi )$: $\in \{\text{ ランク }k\text{ の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$U$: $\in \{M\text{ の全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$U$は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないかもしれない
$\wedge$
$\mathrm{\forall }p\in U(\mathrm{\exists }(U_p^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_p^{\prime })\in \{M\text{ の}p\text{ の周りの全てのチャートたち }\}(U_p^{\prime }\subseteq U\wedge U_p^{\prime }\in \{\text{ 全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}))$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: チャートオープンサブセット（開部分集合）でないある例$U$を挙げる; ステップ2: $p\in U$の周りにあるチャート$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$およびチャート$(U_p^{\prime }:=U_p\cap U\subseteq M,{\varphi }_p^{\prime }:={\varphi }_p{|}_{U_p^{\prime }})$を取る; ステップ3: あるトリビアライゼーション$\mathrm{\Phi }:{\pi }^{-1}(U)\to U\times {\mathbb{R}}^k$を取り、トリビアライゼーション$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}(U_p^{\prime })}:{\pi }^{-1}(U_p^{\prime })\to U_p^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$を取る。

ステップ1:

$U$は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）でない、なぜなら、$U$のトリビアライジングオープンセット（集合）であるというのは、$U$がチャートオープンセット（開集合）であることを保証しない。

例えば、プロダクトバンドル（束）$M\times {\mathbb{R}}^k$に対して、$U=M$はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるが、$M$は必ずしもグローバルチャートを持たない、したがって、$U$は必ずしもチャートオープンセット（開集合）ではない。

ステップ2:

$p\in U$の周りにあるチャート$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$がある。

$(U_p^{\prime }:=U_p\cap U\subseteq M,{\varphi }_p^{\prime }:={\varphi }_p{|}_{U_p^{\prime }})$はチャートである、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題によって。

ステップ3:

あるトリビアライゼーション$\mathrm{\Phi }:{\pi }^{-1}(U)\to U\times {\mathbb{R}}^k$がある。

$U_p^{\prime }$はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でトリビアライゼーション$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}(U_p^{\prime })}:{\pi }^{-1}(U_p^{\prime })\to U_p^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$を持つ、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題によって。

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3: 注

もしも、$U$が$M$上のチャートオープンサブセット（開部分集合）でない場合、${\pi }^{-1}(U)$は必ずしも$E$上のチャートオープンサブセット（開部分集合）ではない、その一方で、${\pi }^{-1}(U_p^{\prime })$は$E$上のチャートオープンサブセット（開部分集合）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。

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参考資料

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