\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題を認めている。
- 読者は、the proposition that for any map between any arbitrary subsets of any \(C^\infty\) manifolds with boundary \(C^k\) at any point, where \(k\) includes \(\infty\), the restriction on any domain that contains the point is \(C^k\) at the pointを認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E, M, \pi)\): \(\in \{\text{ ランク } k \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\(U\): \(\in \{M \text{ の全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(U\)は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないかもしれない
\(\land\)
\(\forall p \in U (\exists (U'_p \subseteq M, \phi'_p) \in \{M \text{ の} p \text{ の周りの全てのチャートたち }\} (U'_p \subseteq U \land U'_p \in \{\text{ 全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: チャートオープンサブセット（開部分集合）でないある例\(U\)を挙げる; ステップ2: \(p \in U\)の周りにあるチャート\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)およびチャート\((U'_p := U_p \cap U \subseteq M, \phi'_p := \phi_p \vert_{U'_p})\)を取る; ステップ3: あるトリビアライゼーション\(\Phi: \pi^{-1} (U) \to U \times \mathbb{R}^k\)を取り、トリビアライゼーション\(\Phi \vert_{\pi^{-1} (U'_p)}: \pi^{-1} (U'_p) \to U'_p \times \mathbb{R}^k\)を取る。
ステップ1:
\(U\)は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）でない、なぜなら、\(U\)のトリビアライジングオープンセット（集合）であるというのは、\(U\)がチャートオープンセット（開集合）であることを保証しない。
例えば、プロダクトバンドル（束）\(M \times \mathbb{R}^k\)に対して、\(U = M\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるが、\(M\)は必ずしもグローバルチャートを持たない、したがって、\(U\)は必ずしもチャートオープンセット（開集合）ではない。
ステップ2:
\(p \in U\)の周りにあるチャート\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)がある。
\((U'_p := U_p \cap U \subseteq M, \phi'_p := \phi_p \vert_{U'_p})\)はチャートである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題によって。
ステップ3:
あるトリビアライゼーション\(\Phi: \pi^{-1} (U) \to U \times \mathbb{R}^k\)がある。
\(U'_p\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でトリビアライゼーション\(\Phi \vert_{\pi^{-1} (U'_p)}: \pi^{-1} (U'_p) \to U'_p \times \mathbb{R}^k\)を持つ、任意の\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題によって。
3: 注
もしも、\(U\)が\(M\)上のチャートオープンサブセット（開部分集合）でない場合、\(\pi^{-1} (U)\)は必ずしも\(E\)上のチャートオープンサブセット（開部分集合）ではない、その一方で、\(\pi^{-1} (U'_p)\)は\(E\)上のチャートオープンサブセット（開部分集合）である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。
