ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションはチャートマップ（写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意のベクトルたちバンドル（束）\(\pi: E \rightarrow M\)、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U\)に対して、\(U\)は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のポイント\(p \in U\)の周りに、ある、より小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U'_p \subseteq U\)がある。
2: 証明
\(U\)は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではない、なぜなら、\(U\)がトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるというのは\(U\)がチャートオープンセット（開集合）であることを保証しない。例えば、プロダクトバンドル（束）\(M \times \mathbb{R}^d\)に対して、\(U = M\)はトリビアライジングオープンセット（開集合）であるが、\(M\)は必ずしもグローバルチャートを持たない、したがって、\(U\)は必ずしもチャートオープンセット（開集合）ではない。
\(p\)の周りに、あるチャートオープンサブセット（開部分集合）\(U_p \subseteq M\)がある。\(U'_p := U_p \cap U\)はチャートオープンサブセット（開部分集合）である。一方では、あるトリビアライゼイション\(\phi: \pi^{-1} (U) \rightarrow U \times \mathbb{R}^d\)があるが、\(\phi\vert_{\pi^{-1} (U'_p)}: \pi^{-1} (U'_p) \rightarrow U'_p \times \mathbb{R}^d\)はトリビアライゼイションである、なぜなら、それはファイバープリザービング（維持）であり、ディフェオモーフィックであり、任意の\(p' \in U'_p\)に対して、\(\phi\vert_{\pi^{-1} (U'_p)}\vert_{\pi^{-1} (p')}: \pi^{-1} (p') \rightarrow \{p'\} \times \mathbb{R}^d\)はベクトルたちスペース（空間）アイソモーフィック（同形写像）である、なぜなら、それは単に\(\phi\)のあるオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）にすぎない（\(\pi^{-1} (U'_p)\)は\(E\)上でオープン（開）であり、\(\pi^{-1} (U'_p) \subseteq \pi^{-1} (U)\)、それは、\(E\)上でオープン（開））。
3: 注
もしも、\(U\)が\(M\)上のチャートオープンサブセット（開部分集合）でなかった場合、\(\pi^{-1} (U)\)は必ずしも\(E\)上のチャートオープンサブセット（開部分集合）ではない、その一方、\(\pi^{-1} (U'_p)\)は\(E\)上のチャートオープンサブセット（開部分集合）である、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションはチャートマップ（写像）であるという命題によって。
