\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、グローバルコネクション（接続）を構築することができる、オープンカバー（開被覆）上方のローカルコネクション（接続）たちを使い、オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）ユニティのパーティションを使って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）上のコネクション（接続）の定義を知っている。
- 読者は、リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）ユニティのパーティションの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるグローバルコネクション（接続）を構築することができる、任意のオープンカバー（開被覆）の上方の任意のローカルコネクション（接続）たちを使い、当該オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）任意のユニティのパーティションを使って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）\(\pi: E \rightarrow M\)、\(M\)の任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_\alpha\vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、各リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）\(E\vert_{U_\alpha}\)上の任意のローカルコネクション（接続）\(\nabla_\alpha\)、当該オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイト（従属する）任意のユニティのパーティション\(\{\rho_\alpha\vert \alpha \in A\}\)に対して、\(\nabla := \sum_\alpha \rho_\alpha \nabla_\alpha\)、それが意味するのは、\(\nabla_V s = \sum_\alpha \rho_\alpha {\nabla_\alpha}_V s\vert_{U_\alpha}\)、は\(E\)上のあるコネクション（接続）である。
2: 証明
各ポイント\(p \in M\)の周りに、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p\)、つまり、それは\(\{supp \rho_\alpha\vert \alpha \in A\}\)のファイナイト（有限）数要素たちのみとインターセクトする（交わる）、があり、\(U_p\)上で、\(\sum_\alpha \rho_\alpha {\nabla_\alpha}_V s\vert_{U_\alpha} = \sum_i \rho_i {\nabla_i}_V s\vert_{U_i}\)、ここで、\(i \in I\)、ここで、\(I\)はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）。
\(\nabla_V s\)は\(E\)上の\(C^\infty\)セクションである、なぜなら、各\(U_p\)上で、\(\sum_i \rho_i {\nabla_i}_V s\vert_{U_i}\)は\(C^\infty\)である。\(\nabla_V s\)は\(s\)に関して\(\mathbb{R}\)リニア（線形）である、なぜなら、各\(U_p\)上で、\(\nabla_V (r s) = \sum_i \rho_i {\nabla_i}_V (r s\vert_{U_i}) = r \sum_i \rho_i {\nabla_i}_V s\vert_{U_i} = r \nabla_V s\)。\(\nabla_V s\)は\(V\)に関して\(C^\infty (M)\)リニア（線形）である、なぜなら、各\(U_p\)上で、\(\nabla_{f V} s = \sum_i \rho_i {\nabla_i}_{f\vert_{U_i} V} s\vert_{U_i} = \sum_i \rho_i f\vert_{U_i} {\nabla_i}_V s\vert_{U_i} = f\vert_{U_i} \sum_i \rho_i {\nabla_i}_V s\vert_{U_i} = f \nabla_V s\)。\(\nabla_V s\)はライプニッツルール（規則）、なぜなら、各\(U_p\)上で、\(\nabla_V (f s) = \sum_i \rho_i {\nabla_i}_V (f\vert_{U_i} s\vert_{U_i}) = \sum_i \rho_i ((V f\vert_{U_i}) s\vert_{U_i} + f\vert_{U_i} {\nabla_i}_V s\vert_{U_i}) = (V f\vert_{U_p}) s\vert_{U_p} + f\vert_{U_p} \sum_i (\rho_i {\nabla_i}_V s\vert_{U_i}) = (V f) s + f \nabla_V s\)。
\(\sum_i \rho_i x_i\)のような構成体の評価たちについてもっと詳しく説明すると、それを各ポイント\(p' \in U_p\)において評価しよう、\(\sum_i \rho_i (p') x_i (p')\)のように; \(x_i (p')\)を因数分解して、\(x (p') x'_i (p')\)、ここで、\(x (p)\)は本当には\(i\)に依存しない、のようにしよう; \(\sum_i \rho_i (p') x_i (p') = x (p') \sum_i \rho_i (p') x'_i (p')\)。実のところ、上記の\(\sum_i \rho_i (V f\vert_{U_i}) s\vert_{U_i}\)の中で、\(x_i (p') = (V f\vert_{U_i}) (p') s\vert_{U_i} (p') = x (p')\)、それは本当には\(i\)に依存しない、したがって、\(\sum_i \rho_i (p') x_i (p') = x (p') \sum_i \rho_i (p') = x (p')\)、したがって、\(\sum_i \rho_i (V f\vert_{U_i}) s\vert_{U_i} (p') = (V f\vert_{U_p}) s\vert_{U_p} (p')\)。上記の\(\sum_i \rho_i f\vert_{U_i} {\nabla_i}_V s\vert_{U_i}\)の中で、\(x_i (p') = f\vert_{U_i} (p') {\nabla_i}_V s\vert_{U_i} (p') = x (p') x'_i (p')\)、ここで、\(x (p') = f\vert_{U_i} (p')\)、それは本当には\(i\)に依存しない、そして、\(x'_i (p') = {\nabla_i}_V s\vert_{U_i} (p')\)、したがって、\(\sum_i \rho_i (p') x_i (p') = x (p') \sum_i \rho_i {\nabla_i}_V s\vert_{U_i} (p') = f\vert_{U_p} (p') \nabla\vert_V s (p')\)、それが私たちが行なったことであった。
3: 注
当該オープンカバー（開被覆）は大抵の場合トリビアライジングオープンカバー（開被覆）である（なぜなら、任意のトリビアライジングオープンカバー（開被覆）はあるローカルコネクション（接続）たちのセット（集合）を許す）、しかし、必ずしもそうではない。
