403: C^\inftyベクトルたちバンドル（束）に対して、グローバルコネクション（接続）を構築することができる、オープンカバー（開被覆）上方のローカルコネクション（接続）たちを使い、オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）ユニティのパーティションを使って

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、グローバルコネクション（接続）を構築することができる、オープンカバー（開被覆）上方のローカルコネクション（接続）たちを使い、オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）ユニティのパーティションを使って、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）上のコネクション（接続）の定義を知っている。
• 読者は、リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）ユニティのパーティションの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるグローバルコネクション（接続）を構築することができる、任意のオープンカバー（開被覆）の上方の任意のローカルコネクション（接続）たちを使い、当該オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）任意のユニティのパーティションを使って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）$\pi :E\to M$、$M$の任意のオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、各リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）$E{|}_{U_{\alpha }}$上の任意のローカルコネクション（接続）${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$、当該オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイト（従属する）任意のユニティのパーティション$\{{\rho }_{\alpha }|\alpha \in A\}$に対して、$\mathrm{\nabla }:=\sum _{\alpha }{\rho }_{\alpha }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$、それが意味するのは、${\mathrm{\nabla }}_{V}s=\sum _{\alpha }{\rho }_{\alpha }{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s{|}_{U_{\alpha }}$、は$E$上のあるコネクション（接続）である。

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2: 証明

各ポイント$p\in M$の周りに、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p$、つまり、それは$\{supp{\rho }_{\alpha }|\alpha \in A\}$のファイナイト（有限）数要素たちのみとインターセクトする（交わる）、があり、$U_p$上で、$\sum _{\alpha }{\rho }_{\alpha }{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s{|}_{U_{\alpha }}=\sum _i{\rho }_i{{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i}$、ここで、$i\in I$、ここで、$I$はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）。

${\mathrm{\nabla }}_{V}s$は$E$上の$C^{\mathrm{\infty }}$セクションである、なぜなら、各$U_p$上で、$\sum _i{\rho }_i{{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。${\mathrm{\nabla }}_{V}s$は$s$に関して$\mathbb{R}$リニア（線形）である、なぜなら、各$U_p$上で、${\mathrm{\nabla }}_V(rs)=\sum _i{\rho }_i{{\mathrm{\nabla }}_i}_V(rs{|}_{U_i})=r\sum _i{\rho }_i{{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i}=r{\mathrm{\nabla }}_{V}s$。${\mathrm{\nabla }}_{V}s$は$V$に関して$C^{\mathrm{\infty }}(M)$リニア（線形）である、なぜなら、各$U_p$上で、${\mathrm{\nabla }}_{fV}s=\sum _i{\rho }_i{{\mathrm{\nabla }}_i}_{f{|}_{U_i}V}s{|}_{U_i}=\sum _i{\rho }_{i}f{|}_{U_i}{{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i}=f{|}_{U_i}\sum _i{\rho }_i{{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i}=f{\mathrm{\nabla }}_{V}s$。${\mathrm{\nabla }}_{V}s$はライプニッツルール（規則）、なぜなら、各$U_p$上で、${\mathrm{\nabla }}_V(fs)=\sum _i{\rho }_i{{\mathrm{\nabla }}_i}_V(f{|}_{U_i}s{|}_{U_i})=\sum _i{\rho }_i((Vf{|}_{U_i})s{|}_{U_i}+f{|}_{U_i}{{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i})=(Vf{|}_{U_p})s{|}_{U_p}+f{|}_{U_p}\sum _i({\rho }_i{{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i})=(Vf)s+f{\mathrm{\nabla }}_{V}s$。

$\sum _i{\rho }_i{x}_i$のような構成体の評価たちについてもっと詳しく説明すると、それを各ポイント$p^{\prime }\in U_p$において評価しよう、$\sum _i{\rho }_i(p^{\prime })x_i(p^{\prime })$のように; $x_i(p^{\prime })$を因数分解して、$x(p^{\prime })x_i^{\prime }(p^{\prime })$、ここで、$x(p)$は本当には$i$に依存しない、のようにしよう; $\sum _i{\rho }_i(p^{\prime })x_i(p^{\prime })=x(p^{\prime })\sum _i{\rho }_i(p^{\prime })x_i^{\prime }(p^{\prime })$。実のところ、上記の$\sum _i{\rho }_i(Vf{|}_{U_i})s{|}_{U_i}$の中で、$x_i(p^{\prime })=(Vf{|}_{U_i})(p^{\prime })s{|}_{U_i}(p^{\prime })=x(p^{\prime })$、それは本当には$i$に依存しない、したがって、$\sum _i{\rho }_i(p^{\prime })x_i(p^{\prime })=x(p^{\prime })\sum _i{\rho }_i(p^{\prime })=x(p^{\prime })$、したがって、$\sum _i{\rho }_i(Vf{|}_{U_i})s{|}_{U_i}(p^{\prime })=(Vf{|}_{U_p})s{|}_{U_p}(p^{\prime })$。上記の$\sum _i{\rho }_{i}f{|}_{U_i}{{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i}$の中で、$x_i(p^{\prime })=f{|}_{U_i}(p^{\prime }){{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i}(p^{\prime })=x(p^{\prime })x_i^{\prime }(p^{\prime })$、ここで、$x(p^{\prime })=f{|}_{U_i}(p^{\prime })$、それは本当には$i$に依存しない、そして、$x_i^{\prime }(p^{\prime })={{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i}(p^{\prime })$、したがって、$\sum _i{\rho }_i(p^{\prime })x_i(p^{\prime })=x(p^{\prime })\sum _i{\rho }_i{{\mathrm{\nabla }}_i}_{V}s{|}_{U_i}(p^{\prime })=f{|}_{U_p}(p^{\prime })\mathrm{\nabla }{|}_{V}s(p^{\prime })$、それが私たちが行なったことであった。

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3: 注

当該オープンカバー（開被覆）は大抵の場合トリビアライジングオープンカバー（開被覆）である（なぜなら、任意のトリビアライジングオープンカバー（開被覆）はあるローカルコネクション（接続）たちのセット（集合）を許す）、しかし、必ずしもそうではない。

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参考資料

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