405: C^\inftyマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアンC^\inftyマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って|T.B.P.日本語版

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C^{\infty}

マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

読者は、 $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
読者は、ディフェオモーフィズムの定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）に対して、当該マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンンショナル（次元の）ユークリディアン $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）

M

、任意のオープンサブセット（開部分集合）

U \subseteq M

、対応するディメンンショナル（次元の）ユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）

U^{'} \subseteq R^{d}

、任意のマップ（写像）

f : U \to U^{'}

に対して、

(U, f)

はチャートである、もしも、

f

がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って。

2: 証明

(U, f)

はチャートであると仮定しよう。

f

はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、チャートの定義によって。任意のポイント

p \in U

の周りに、当該チャート

(U, f)

があり、

f (p) \in U^{'}

の周りに、ユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）上のチャート

(U^{'}, i d)

、ここで、

i d

はアイデンティティマップ（恒等写像）

i d : U^{'} \to U^{'}

、がある。

i d \circ f \circ f^{- 1}

は

C^{\infty}

である、なぜなら、それは

i d

である、したがって、

f

は

C^{\infty}

である。

f \circ f^{- 1} \circ i d^{- 1}

は

C^{\infty}

である、なぜなら、それは

i d

である、したがって、

f^{- 1}

は

C^{\infty}

である。

f

はディフェオモーフィズムであると仮定しよう。

f

はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。以下を満たす任意のチャート

(U^{″}, ϕ)

、つまり、

U^{″} \cap U \neq \emptyset

、に対して、

f \circ ϕ^{- 1} |_{ϕ (U^{″} \cap U)}

は

C^{\infty}

である、

C^{\infty}

マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として、そして、

ϕ \circ f^{- 1} |_{f (U^{″} \cap U)}

は

C^{\infty}

である、

C^{\infty}

マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として。したがって、

(U, f)

は

(U^{″}, ϕ)

とコンパチブル（互換）であり、

(U, f)

は当該マキシマル（最大）アトラス（座標近傍系）の中に含まれている。

3: 注

"対応するディメンンショナル（次元の）"と言うものの、実のところ、任意の別ディメンンショナル（次元の）ユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上へのディフェオモーフィズムというのはあり得ない、ディメンション（次元）の

C^{\infty}

インバリアンス（不変）定理によって、したがって、もしも、あるディメンション（次元）のユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）のあるオープンサブセット（開部分集合）の上へのあるディフェオモーフィズムがある場合、そのディメンション（次元）は、対応するディメンション（次元）に他ならない。

参考資料