\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、ディフェオモーフィズムの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、当該マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンンショナル（次元の）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq M\)、対応するディメンンショナル（次元の）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U' \subseteq \mathbb{R}^d\)、任意のマップ（写像）\(f: U \to U'\)に対して、\((U, f)\)はチャートである、もしも、\(f\)がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\((U, f)\)はチャートであると仮定しよう。\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、チャートの定義によって。任意のポイント\(p \in U\)の周りに、当該チャート\((U, f)\)があり、\(f (p) \in U'\)の周りに、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のチャート\((U', id)\)、ここで、\(id\)はアイデンティティマップ（恒等写像）\(id: U' \to U'\)、がある。\(id \circ f \circ f^{-1}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、それは\(id\)である、したがって、\(f\)は\(C^\infty\)である。\(f \circ f^{-1} \circ id^{-1}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、それは\(id\)である、したがって、\(f^{-1}\)は\(C^\infty\)である。
\(f\)はディフェオモーフィズムであると仮定しよう。\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。以下を満たす任意のチャート\((U'', \phi)\)、つまり、\(U'' \cap U \neq \emptyset\)、に対して、\(f \circ \phi^{-1}\vert_{\phi (U'' \cap U)}\)は\(C^\infty\)である、\(C^\infty\)マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として、そして、\(\phi \circ f^{-1}\vert_{f (U'' \cap U)}\)は\(C^\infty\)である、\(C^\infty\)マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として。したがって、\((U, f)\)は\((U'', \phi)\)とコンパチブル（互換）であり、\((U, f)\)は当該マキシマル（最大）アトラス（座標近傍系）の中に含まれている。
3: 注
"対応するディメンンショナル（次元の）"と言うものの、実のところ、任意の別ディメンンショナル（次元の）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上へのディフェオモーフィズムというのはあり得ない、ディメンション（次元）の\(C^\infty\)インバリアンス（不変）定理によって、したがって、もしも、あるディメンション（次元）のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のあるオープンサブセット（開部分集合）の上へのあるディフェオモーフィズムがある場合、そのディメンション（次元）は、対応するディメンション（次元）に他ならない。
