グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対するファンダメンタル（基本的）定理の記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、ノーマル（正規）サブグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のノーマル（正規）サブグループ（群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）たちマップ（写像）でアイデンティティをアイデンティティへマップ（写像）し任意のマルチプリケーション（積）をマルチプリケーション（積）へマップ（写像）するものはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対するファンダメンタル（基本的）定理: 任意のグループ（群）（第1グループ（群））、当該グループ（群）の任意のノーマル（正規）サブグループ（群）（第2グループ（群））によるクウォシェント（商）グループ（群）、第1グループ（群）から任意のグループ（群）（第3グループ（群））の中への任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）（ 第1グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像））でそのカーネルが第2グループ（群）を包含するものに対して、当該クウォシェント（商）グループ（群）から第3グループ（群）の中への以下を満たすユニークなグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）（第2ホモモーフィズム（準同形写像））、つまり、第1グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は第1グループ（群）から当該クウォシェント（商）グループ（群）の上へのカノニカル（自然な）ホモモーフィズム（準同形写像）の後に第2グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）を作用させるコンポジション（合成）である、があるという命題の記述および証明を得る。。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のグループ（群）\(G_1\)、任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）\(G_2 \subseteq G_1\)、\(G_1\)の\(G_2\)によるクウォシェント（商）グループ（群）\(G_1/G_2\)、カノニカル（自然な）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(\pi: G_1 \to G_1/G_2\)、任意のグループ（群）\(G_3\)、以下を満たす任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f: G_1 \to G_3\)、つまり、\(G_2 \subseteq ker f\)、に対して、以下を満たすユニークなグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f': G_1/G_2 \to G_3\)、つまり、\(f = f' \circ \pi\)、がある。
2: 証明
任意の\(g \in G_1\)に対して、(f' := g G_2 \mapsto f (g)\)を定義しよう。\(f'\)は\(g G_2\)からの\(g\)の選択に依存しないことを確かめよう。任意の2要素たち\(g', g'' \in g G_2\)に対して、\(g' G_2 = g'' G_2\)であるから、以下を満たす\(g'_2, g''_2 \in G_2\)、つまり、\(g' g'_2 = g'' g''_2\)、がある。\(g'' = g' g'_2 {g''_2}^{-1}\)。\(f (g'') = f (g' g'_2 {g''_2}^{-1}) = f (g') f (g'_2 {g''_2}^{-1}) = f (g')\)、なぜなら、\(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であり\(G_2 \subseteq ker f\)。したがって、\(f'\)は選択に依存しない。任意の\(g \in G_1\)に対して\(f' \circ \pi (g) = f' (g G_2) = f (g)\)、したがって、\(f' \circ \pi = f\)。
\(f'\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを確かめよう。\(f' (e G_2) = f (e) = e\)、ここで、\(e\)はアイデンティティ要素たち。\(f' ((g' G_2) (g'' G_2)) = f' (g' g'' G_2) = f (g' g'') = f (g') f (g'') = f' (g' G_2) f' (g'' G_2)\)。したがって、\(f'\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たちマップ（写像）でアイデンティティをアイデンティティへマップ（写像）し任意のマルチプリケーション（積）をマルチプリケーション（積）へマップ（写像）するものはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
\(f'\)はユニークであることを確かめよう。別の\(f''\)があったと仮定しよう。\(f' \circ \pi = f'' \circ \pi\)、\(f' \circ \pi (g) = f' (g G_2) = f'' \circ \pi (g) = f'' (g G_2)\)。したがって、\(f' = f''\)。
