2023年11月26日日曜日

417: グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対するファンダメンタル（基本的）定理

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グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対するファンダメンタル（基本的）定理の記述/証明

話題


About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対するファンダメンタル（基本的）定理: 任意のグループ（群）（第1グループ（群））、当該グループ（群）の任意のノーマル（正規）サブグループ（群）（第2グループ（群））によるクウォシェント（商）グループ（群）、第1グループ（群）から任意のグループ（群）（第3グループ（群））の中への任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）（ 第1グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像））でそのカーネルが第2グループ（群）を包含するものに対して、当該クウォシェント（商）グループ（群）から第3グループ（群）の中への以下を満たすユニークなグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）（第2ホモモーフィズム（準同形写像））、つまり、第1グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は第1グループ（群）から当該クウォシェント（商）グループ（群）の上へのカノニカル（自然な）ホモモーフィズム（準同形写像）の後に第2グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）を作用させるコンポジション（合成）である、があるという命題の記述および証明を得る。。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のグループ（群）G1、任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）G2⊆G1、G1のG2によるクウォシェント（商）グループ（群）G1/G2、カノニカル（自然な）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）π:G1→G1/G2、任意のグループ（群）G3、以下を満たす任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）f:G1→G3、つまり、G2⊆kerf、に対して、以下を満たすユニークなグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）f′:G1/G2→G3、つまり、f=f′∘π、がある。

2: 証明


任意のg∈G1に対して、(f' := g G_2 \mapsto f (g)\)を定義しよう。f′はgG2からのgの選択に依存しないことを確かめよう。任意の2要素たちg′,g″∈gG2に対して、g′G2=g″G2であるから、以下を満たすg2′,g2″∈G2、つまり、g′g2′=g″g2″、がある。g″=g′g2′g2″−1。f(g″)=f(g′g2′g2″−1)=f(g′)f(g2′g2″−1)=f(g′)、なぜなら、fはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）でありG2⊆kerf。したがって、f′は選択に依存しない。任意のg∈G1に対してf′∘π(g)=f′(gG2)=f(g)、したがって、f′∘π=f。

f′はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを確かめよう。f′(eG2)=f(e)=e、ここで、eはアイデンティティ要素たち。f′((g′G2)(g″G2))=f′(g′g″G2)=f(g′g″)=f(g′)f(g″)=f′(g′G2)f′(g″G2)。したがって、f′はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たちマップ（写像）でアイデンティティをアイデンティティへマップ（写像）し任意のマルチプリケーション（積）をマルチプリケーション（積）へマップ（写像）するものはグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

f′はユニークであることを確かめよう。別のf″があったと仮定しよう。f′∘π=f″∘π、f′∘π(g)=f′(gG2)=f″∘π(g)=f″(gG2)。したがって、f′=f″。

参考資料
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