リーマニアンバンドル（束）はコンパチブル（互換）コネクション（接続）を持つことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーマニアンバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）とコンパチブル（互換）なコネクション（接続）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の、任意のトリビアライジングオープンセット（開集合）についてのリストリクション（制限）はオーソノーマル（正規直交）フレームを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるグローバルコネクション（接続）を構築することができる、任意のオープンカバー（開被覆）の上方の任意のローカルコネクション（接続）たちを使い、当該オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）任意のユニティのパーティションを使って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーマニアンバンドル（束）上に当該メトリック（計量）とコンパチブル（互換）なあるコネクション（接続）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意のリーマニアンバンドル（束）\(\pi: E \to M\)に対して、\(E\)上に当該メトリック（計量）とコンパチブル（互換）なあるコネクション（接続）\(\nabla\)がある。
2: 証明
\(E\)に対する\(M\)のあるトリビアライジングオープンカバー（開被覆）\(\{U_\alpha\vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、がある。各\(\pi^{-1} (U_\alpha)\)に対して、あるオーソノーマル（正規直交）\(C^\infty\)フレーム\(e_1, e_2, ..., e_d\)がある、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の、任意のトリビアライジングオープンセット（開集合）についてのリストリクション（制限）はオーソノーマル（正規直交）フレームを持つという命題によって。任意の\(C^\infty\)セクション（断面）たち\(s_1, s_2 \in \Gamma (E)\)は\(\pi^{-1} (U_\alpha)\)上で\(s_j = {s_j}^i e_i\)、ここで、\({s_j}^i\)は\(U_\alpha\)上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）、である。任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド\(V \in \Gamma (TM)\)に対して、\(U_\alpha\)上で、\(V \langle s_1, s_2 \rangle = V (\sum_i {s_1}^i {s_2}^i) = \sum_i ((V {s_1}^i) {s_2}^i + {s_1}^i V {s_2}^i)\)。
\(\pi^{-1} (U_\alpha)\)上にあるコネクション（接続）\(\nabla_\alpha\)を定義しよう、\({\nabla_\alpha}_V s = V s^i e_i\)として。\(\nabla_\alpha\)は本当にコネクション（接続）であることを確かめよう。\(V s^i e_i \in \Gamma (\pi^{-1} (U_\alpha))\)、なぜなら、\(V s^i\)は\(U_\alpha\)上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）である。\({\nabla_\alpha}_V s\)は\(s\)に関して\(\mathbb{R}\)リニア（線形）である、なぜなら、\({\nabla_\alpha}_V (r s) = V (r s^i) e_i = r V s^i e_i = r {\nabla_\alpha}_V s\)。\({\nabla_\alpha}_V s\)は\(V\)に関して\(C^\infty (U_\alpha)\)リニア（線形）である、なぜなら、\({\nabla_\alpha}_{f V} s = f V s^i e_i = f {\nabla_\alpha}_V s\)。\({\nabla_\alpha}_V s\)はライプニッツルール（規則）\({\nabla_\alpha}_V (fs) = (V f) s + f {\nabla_\alpha}_V s\)を満たす、なぜなら、\({\nabla_\alpha}_V (fs) = V (f s^i) e_i = (V f) s^i e_i + f (V s^i) e_i = (V f) s + f {\nabla_\alpha}_V s\)。したがって、\(\nabla_\alpha\)はコネクション（接続）である。
\(\nabla_\alpha\)は\(\pi^{-1} (U_\alpha)\)上で当該メトリック（計量）とコンパチブル（互換）であることを確かめよう。\(V \langle s_1, s_2 \rangle = \langle {\nabla_\alpha}_V s_1, s_2 \rangle + \langle s_1, {\nabla_\alpha}_V s_2\rangle\)？\(\langle {\nabla_\alpha}_V s_1, s_2 \rangle + \langle s_1, {\nabla_\alpha}_V s_2\rangle = \langle V {s_1}^i e_i, {s_2}^i e_i \rangle + \langle {s_1}^i e_i, V {s_2}^i e_i\rangle = \sum_i ((V {s_1}^i) {s_2}^i + {s_1}^i V {s_2}^i)\)、それは、\(V \langle s_1, s_2 \rangle\)に等しい、それは第1パラグラフにて展開済み。
当該トリビアライジングオープンカバー（開被覆）\(\{U_\alpha\}\)にサブオーディネイトな（従属する）あるユニティのパーティション\(\rho_\alpha\)を取ろう。\(E\)上のコネクション（接続）\(\nabla\)を定義しよう、\(\sum_\alpha \rho_\alpha \nabla_\alpha\)として、それが意味するのは、\(\nabla_V s = \sum_\alpha \rho_\alpha {\nabla_\alpha}_V s\)。\(\nabla\)は実際にコネクション（接続）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるグローバルコネクション（接続）を構築することができる、任意のオープンカバー（開被覆）の上方の任意のローカルコネクション（接続）たちを使い、当該オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）任意のユニティのパーティションを使って、という命題によって。
\(\nabla\)は当該メトリック（計量）とコンパチブル（互換）であることを確かめよう。各\(\pi^{-1} (U_\alpha)\)上で、\(V \langle s_1, s_2 \rangle = \langle {\nabla_\alpha}_V s_1, s_2 \rangle + \langle s_1, {\nabla_\alpha}_V s_2\rangle\)。\(\sum_\alpha (\rho_\alpha V \langle s_1, s_2 \rangle) = V \langle s_1, s_2 \rangle = \sum_\alpha (\rho_\alpha (\langle {\nabla_\alpha}_V s_1, s_2 \rangle + \langle s_1, {\nabla_\alpha}_V s_2\rangle)) = \sum_\alpha ( \langle \rho_\alpha {\nabla_\alpha}_V s_1, s_2 \rangle + \langle s_1, \rho_\alpha {\nabla_\alpha}_V s_2\rangle) = \langle \sum_\alpha (\rho_\alpha {\nabla_\alpha}_V s_1), s_2 \rangle + \langle s_1, \sum_\alpha (\rho_\alpha {\nabla_\alpha}_V s_2) \rangle = \langle (\sum_\alpha \rho_\alpha {\nabla_\alpha}_V) s_1, s_2 \rangle + \langle s_1, (\sum_\alpha \rho_\alpha {\nabla_\alpha}_V) s_2 \rangle = \langle \nabla_V s_1, s_2 \rangle + \langle s_1, \nabla_V s_2 \rangle\)。
