404: リーマニアンバンドル（束）はコンパチブル（互換）コネクション（接続）を持つ

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

リーマニアンバンドル（束）はコンパチブル（互換）コネクション（接続）を持つことの記述/証明

---

話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、リーマニアンバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、メトリック（計量）とコンパチブル（互換）なコネクション（接続）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の、任意のトリビアライジングオープンセット（開集合）についてのリストリクション（制限）はオーソノーマル（正規直交）フレームを持つという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるグローバルコネクション（接続）を構築することができる、任意のオープンカバー（開被覆）の上方の任意のローカルコネクション（接続）たちを使い、当該オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）任意のユニティのパーティションを使って、という命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリーマニアンバンドル（束）上に当該メトリック（計量）とコンパチブル（互換）なあるコネクション（接続）があるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$、任意のリーマニアンバンドル（束）$\pi :E\to M$に対して、$E$上に当該メトリック（計量）とコンパチブル（互換）なあるコネクション（接続）$\mathrm{\nabla }$がある。

---

2: 証明

$E$に対する$M$のあるトリビアライジングオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、がある。各${\pi }^{-1}(U_{\alpha })$に対して、あるオーソノーマル（正規直交）$C^{\mathrm{\infty }}$フレーム$e_1,e_2,...,e_d$がある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の、任意のトリビアライジングオープンセット（開集合）についてのリストリクション（制限）はオーソノーマル（正規直交）フレームを持つという命題によって。任意の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）たち$s_1,s_2\in \mathrm{\Gamma }(E)$は${\pi }^{-1}(U_{\alpha })$上で$s_j={s_j}^i{e}_i$、ここで、${s_j}^i$は$U_{\alpha }$上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）、である。任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド$V\in \mathrm{\Gamma }(TM)$に対して、$U_{\alpha }$上で、$V⟨s_1,s_2⟩=V(\sum _i{s_1}^i{s_2}^i)=\sum _i((V{s_1}^i){s_2}^i+{s_1}^{i}V{s_2}^i)$。

${\pi }^{-1}(U_{\alpha })$上にあるコネクション（接続）${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$を定義しよう、${{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s=V{s}^i{e}_i$として。${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$は本当にコネクション（接続）であることを確かめよう。$V{s}^i{e}_i\in \mathrm{\Gamma }({\pi }^{-1}(U_{\alpha }))$、なぜなら、$V{s}^i$は$U_{\alpha }$上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）である。${{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s$は$s$に関して$\mathbb{R}$リニア（線形）である、なぜなら、${{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V(rs)=V(r{s}^i)e_i=rV{s}^i{e}_i=r{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s$。${{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s$は$V$に関して$C^{\mathrm{\infty }}(U_{\alpha })$リニア（線形）である、なぜなら、${{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{fV}s=fV{s}^i{e}_i=f{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s$。${{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s$はライプニッツルール（規則）${{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V(fs)=(Vf)s+f{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s$を満たす、なぜなら、${{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V(fs)=V(f{s}^i)e_i=(Vf)s^i{e}_i+f(V{s}^i)e_i=(Vf)s+f{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s$。したがって、${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$はコネクション（接続）である。

${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$は${\pi }^{-1}(U_{\alpha })$上で当該メトリック（計量）とコンパチブル（互換）であることを確かめよう。$V⟨s_1,s_2⟩=⟨{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_1,s_2⟩+⟨s_1,{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_2⟩$？$⟨{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_1,s_2⟩+⟨s_1,{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_2⟩=⟨V{s_1}^i{e}_i,{s_2}^i{e}_i⟩+⟨{s_1}^i{e}_i,V{s_2}^i{e}_i⟩=\sum _i((V{s_1}^i){s_2}^i+{s_1}^{i}V{s_2}^i)$、それは、$V⟨s_1,s_2⟩$に等しい、それは第1パラグラフにて展開済み。

当該トリビアライジングオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }\}$にサブオーディネイトな（従属する）あるユニティのパーティション${\rho }_{\alpha }$を取ろう。$E$上のコネクション（接続）$\mathrm{\nabla }$を定義しよう、$\sum _{\alpha }{\rho }_{\alpha }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }$として、それが意味するのは、${\mathrm{\nabla }}_{V}s=\sum _{\alpha }{\rho }_{\alpha }{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_{V}s$。$\mathrm{\nabla }$は実際にコネクション（接続）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるグローバルコネクション（接続）を構築することができる、任意のオープンカバー（開被覆）の上方の任意のローカルコネクション（接続）たちを使い、当該オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）任意のユニティのパーティションを使って、という命題によって。

$\mathrm{\nabla }$は当該メトリック（計量）とコンパチブル（互換）であることを確かめよう。各${\pi }^{-1}(U_{\alpha })$上で、$V⟨s_1,s_2⟩=⟨{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_1,s_2⟩+⟨s_1,{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_2⟩$。$\sum _{\alpha }({\rho }_{\alpha }V⟨s_1,s_2⟩)=V⟨s_1,s_2⟩=\sum _{\alpha }({\rho }_{\alpha }(⟨{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_1,s_2⟩+⟨s_1,{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_2⟩))=\sum _{\alpha }(⟨{\rho }_{\alpha }{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_1,s_2⟩+⟨s_1,{\rho }_{\alpha }{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_2⟩)=⟨\sum _{\alpha }({\rho }_{\alpha }{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_1),s_2⟩+⟨s_1,\sum _{\alpha }({\rho }_{\alpha }{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V{s}_2)⟩=⟨(\sum _{\alpha }{\rho }_{\alpha }{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V)s_1,s_2⟩+⟨s_1,(\sum _{\alpha }{\rho }_{\alpha }{{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }}_V)s_2⟩=⟨{\mathrm{\nabla }}_V{s}_1,s_2⟩+⟨s_1,{\mathrm{\nabla }}_V{s}_2⟩$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>