メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\( M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\( s\): \(: J \to M\), \(\in \{M \text{ 上のポイントたちの全てのシーケンス（列）たち }\}\)
\(*m\): \(\in M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\vert J \vert \lt \infty \implies s_{\vert J \vert} = m\)
\(\land\)
\(\vert J \vert = \infty \implies \forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists N \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } N \lt n (dist (m, s_n) \lt \epsilon)))\)
//
2: 注
大抵は、'コンバージェンス（収束ポイント）'は、\(J\)がインフィニット（無限）である時について語られる、なぜなら、\(J\)がファイナイト（有限）である時は、特別な考慮たちの必要性はない、ところが、本定義は、\(J\)-ファイナイト（有限）ケースに対する定義も行なう、定義の完全性のために。
\(M\)が当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つトポロジカルスペース（空間）にされた時、\(J\)はあるダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）であり、\(s\)は当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるあるネットであり、\(s\)の当該メトリックスペース（計量付き空間）上におけるシーケンス（列）としての任意のコンバージェンス（収束ポイント）は、\(s\)の当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットとしてのコンバージェンス（収束ポイント）である、なぜなら（\(J\)がインフィニット（無限）ケースに対して、その一方、\(J\)ファイナイト（有限）ケースは明らかである）、\(m\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_m \subseteq M\)に対して、\(m\)周りのある\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{m, \epsilon} \subseteq U_m\)があり、以下を満たすある\(N\)、つまり、各\(N \lt n\)に対して、\(dist (m, s_n) \lt \epsilon\)、がある、それが意味するのは、\(s_n \in B_{m, \epsilon} \subseteq U_m\); 他方、\(s\)の当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットとしての任意のコンバージェンス（収束ポイント）は、\(s\)の当該メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）としてのコンバージェンス（収束ポイント）である、なぜなら、任意の\(\epsilon\)に対して、\(B_{m, \epsilon}\)は\(m\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であるから、以下を満たすある\(N\)、つまり、各\(N \lt n\)に対して、\(s_n \in B_{m, \epsilon}\)、がある、それが意味するのは、\(dist (m, s_n) \lt \epsilon\)。
当該コンバージェンス（収束ポイント）\(m\)は不可避にユニークである: 別のコンバージェンス（収束ポイント）\(m' \in M\)があったと仮定しよう、それは、\(0 \lt dist (m, m')\)を含意することになる; \(dist (m, m') \le dist (m, s_n) + dist (s_n, m')\)、したがって、\(dist (m, m') - dist (m, s_n) \le dist (s_n, m')\); 各\(N \lt n\)に対して、\(dist (m, s_n) \lt dist (m, m') / 2\); したがって、\(dist (m, m') / 2 = dist (m, m') - dist (m, m') / 2 \lt dist (s_n, m')\)、それが意味することになるのは、\(s\)は\(m'\)へコンバージ（収束）しなかったということ、矛盾。
