メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\( s\): \(: \mathbb{N} \to M\)、\(\in \{M \text{ 上の全てのポイントたちシーケンス（列）たち }\}\)
\(*m\): \(\in M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists N \in \mathbb{N} (\forall n \in \mathbb{N} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } N \lt n (dist (m, s (n)) \lt \epsilon)))\)
//
2: 注
場合によって、私たちは\(\mathbb{N} \setminus \{0\}\)を\(\mathbb{N}\)の代わりに使うかもしれない。
\(M\)がカノニカル（正典）なインデュースト（誘導された）トポロジーを持ってトポロジカルスペース（空間）にされた時、\(\mathbb{N}\)はダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）であり、\(s\)は当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットであり、\(s\)のシーケンス（列）としての任意のコンバージェンス（収束ポイント）は、\(s\)の当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットとしてのコンバージェンス（収束ポイント）である、なぜなら、\(m\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_m \subseteq M\)に対して、\(m\)の周りのある\(\epsilon\)オープンボール（開球）\(B_{m, \epsilon} \subseteq U_m\)があり、\(s (n) \in B_{m, \epsilon}\)であるから、\(s (n) \in U_m\)。
コンバージェンス（収束ポイント）\(m\)は不可避にユニークである: 別のコンバージェンス（収束ポイント）\(m' \in M\)があったと仮定しよう、それが意味するのは、\(0 \lt dist (m, m')\); \(dist (m, m') \le dist (m, s (j)) + dist (s (j), m')\)、したがって、\(dist (m, m') - dist (m, s (j)) \le dist (s (j), m')\); 各\(N \lt n\)に対して、\(dist (m, s (j)) \lt dist (m, m') / 2\); したがって、\(dist (m, m') / 2 = dist (m, m') - dist (m, m') / 2 \le dist (s (j), m')\)、それが意味するのは、\(s\)は\(m'\)へコンバージ（収束）しないということ。
