メトリックスペース(計量付き空間)上のシーケンス(列)のコンバージェンス(収束点)の定義
話題
About: メトリックスペース(計量付き空間)
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース(計量付き空間)の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース(計量付き空間)上のシーケンス(列)のコンバージェンス(収束点)の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ(実体)たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース(計量付き空間)たち }\}\)
\( s\): \(: \mathbb{N} \to M\)、\(\in \{M \text{ 上の全てのポイントたちシーケンス(列)たち }\}\)
\(*m\): \(\in M\)
//
ステートメント(言明)たち:
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists N \in \mathbb{N} (\forall n \in \mathbb{N} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } N \lt n (dist (m, s (n)) \lt \epsilon)))\)
//
2: 注
場合によって、私たちは\(\mathbb{N} \setminus \{0\}\)を\(\mathbb{N}\)の代わりに使うかもしれない。
\(M\)がカノニカル(正典)なインデュースト(誘導された)トポロジーを持ってトポロジカルスペース(空間)にされた時、\(\mathbb{N}\)はダイレクテッド(有向)インデックスセット(集合)であり、\(s\)は当該ダイレクテッド(有向)インデックスセット(集合)によるネットであり、\(s\)のシーケンス(列)としての任意のコンバージェンス(収束ポイント)は、\(s\)の当該ダイレクテッド(有向)インデックスセット(集合)によるネットとしてのコンバージェンス(収束ポイント)である、なぜなら、\(m\)の任意のオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_m \subseteq M\)に対して、\(m\)の周りのある\(\epsilon\)オープンボール(開球)\(B_{m, \epsilon} \subseteq U_m\)があり、\(s (n) \in B_{m, \epsilon}\)であるから、\(s (n) \in U_m\)。
コンバージェンス(収束ポイント)\(m\)は不可避にユニークである: 別のコンバージェンス(収束ポイント)\(m' \in M\)があったと仮定しよう、それが意味するのは、\(0 \lt dist (m, m')\); \(dist (m, m') \le dist (m, s (j)) + dist (s (j), m')\)、したがって、\(dist (m, m') - dist (m, s (j)) \le dist (s (j), m')\); 各\(N \lt n\)に対して、\(dist (m, s (j)) \lt dist (m, m') / 2\); したがって、\(dist (m, m') / 2 = dist (m, m') - dist (m, m') / 2 \le dist (s (j), m')\)、それが意味するのは、\(s\)は\(m'\)へコンバージ(収束)しないということ。