メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のメトリックスペース（計量付き空間）\(M\)、任意のシーケンス（列）\(s: \mathbb{N} \to M\)、ここで、\(\mathbb{N}\)はポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）に対して、以下を満たすあるポイント\(p \in M\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)である任意の\(\epsilon \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)である任意の\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (p, s (n)) \lt \epsilon\)、がある
2: 注
場合によって、\(\mathbb{N}\)をナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）（\(0\)を含む）とするかもしれない。
\(M\)がカノニカル（自然な）インデュースト（誘導された）トポロジーでもってトポロジカルスペース（空間）とされた時、\(\mathbb{N}\)はダイレクテッドセット（有向集合）であり、\(s\)はダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットであり、シーケンス（列）としての\(s\)の任意のコンバージェンス（収束点）はダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットとしての\(s\)のコンバージェンス（収束点）である、なぜなら、\(p\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq M\)に対して、\(p\)の周りのある\(\epsilon\)オープンボール（開球）\(B_{p, \epsilon} \subseteq U_p\)があり、\(s (n) \in B_{p, \epsilon}\)であるから、\(s (n) \in U_p\)。
