437: メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）

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メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義

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話題

About: メトリックスペース（計量付き空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}$
$s$: $:\mathbb{N}\to M$、$\in \{M\text{ 上の全てのポイントたちシーケンス（列）たち }\}$
$\ast m$: $\in M$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }ϵ\in \mathbb{R}\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }0<ϵ(\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }N<n(dist(m,s(n))<ϵ)))$
//

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2: 注

場合によって、私たちは$\mathbb{N}\setminus \{0\}$を$\mathbb{N}$の代わりに使うかもしれない。

$M$がカノニカル（正典）なインデュースト（誘導された）トポロジーを持ってトポロジカルスペース（空間）にされた時、$\mathbb{N}$はダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）であり、$s$は当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットであり、$s$のシーケンス（列）としての任意のコンバージェンス（収束ポイント）は、$s$の当該ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットとしてのコンバージェンス（収束ポイント）である、なぜなら、$m$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_m\subseteq M$に対して、$m$の周りのある$ϵ$オープンボール（開球）$B_{m,ϵ}\subseteq U_m$があり、$s(n)\in B_{m,ϵ}$であるから、$s(n)\in U_m$。

コンバージェンス（収束ポイント）$m$は不可避にユニークである: 別のコンバージェンス（収束ポイント）$m^{\prime }\in M$があったと仮定しよう、それが意味するのは、$0<dist(m,m^{\prime })$; $dist(m,m^{\prime })\le dist(m,s(j))+dist(s(j),m^{\prime })$、したがって、$dist(m,m^{\prime })-dist(m,s(j))\le dist(s(j),m^{\prime })$; 各$N<n$に対して、$dist(m,s(j))<dist(m,m^{\prime })/2$; したがって、$dist(m,m^{\prime })/2=dist(m,m^{\prime })-dist(m,m^{\prime })/2\le dist(s(j),m^{\prime })$、それが意味するのは、$s$は$m^{\prime }$へコンバージ（収束）しないということ。

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参考資料

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