425: プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のプロジェクション（射影）はコンパクトである

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プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のプロジェクション（射影）はコンパクトであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述1
• 2: 証明1
• 3: 記述2
• 4: 証明2

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）の任意の構成要素トポロジカルスペース（空間）の中へのプロジェクション（射影）は当該構成要素トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述1

アンカウンタブルかもしれない数の任意のインデックス付けされたトポロジカルスペース（空間）たち$\{T_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブルかもしれないインデックスたちセット（集合）、プロダクト$T:={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$、任意のコンパクトサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、プロジェクション（射影）${\pi }_{{\alpha }^{\prime }}(S)\subseteq T_{{\alpha }^{\prime }}$、ここで、${\pi }_{{\alpha }^{\prime }}:T\to T_{{\alpha }^{\prime }}$、は$T_{{\alpha }^{\prime }}$のコンパクトサブセット（部分集合）である。

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2: 証明1

任意の$p\in T$に対して、$p$の$\alpha$コンポーネントを$p^{\alpha }$と記そう、つまり、${\pi }_{\alpha }(p)=p^{\alpha }$。

$\{U_{\beta }\subseteq T_{{\alpha }^{\prime }}|\beta \in B\}$を${\pi }_{{\alpha }^{\prime }}(S)$の任意のオープンカバー、ここで、$B$はアンカウンタブルかもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、としよう。

$\{{\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }\subseteq T|\beta \in B\}$、ここで、$U_{{\alpha }^{\prime },\beta }=U_{\beta }$で$\alpha \ne {\alpha }^{\prime }$ の時は$U_{\alpha ,\beta }=T_{\alpha }$、は$S$のオープンカバーである、なぜなら、任意のポイント$p\in S$に対して、ある$\beta \in B$に対して$p^{{\alpha }^{\prime }}\in U_{\beta }=U_{{\alpha }^{\prime },\beta }$で、任意の$\alpha \ne {\alpha }^{\prime }$と当該$\beta$に対して$p^{\alpha }\in T_{\alpha }=U_{\alpha ,\beta }$である、したがって、当該$\beta$に対して$p\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }$。

$S$は$T$のコンパクトサブセット（部分集合）であるから、あるファイナイト（有限）オープン（開）サブカバー$\{{\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }|\beta \in J\}$、ここで、$J\subseteq B$はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、がある。

$\{U_{\beta }\subseteq T_{{\alpha }^{\prime }}|\beta \in J\}$はファイナイト（有限）サブカバーである、なぜなら、任意のポイント$p^{{\alpha }^{\prime }}\in {\pi }_{{\alpha }^{\prime }}(S)$に対して、それはあるポイント$p\in S$の${\alpha }^{\prime }$コンポーネントであり、ある$\beta \in J$に対して$p\in {\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,\beta }$、それが意味するのは、$p^{{\alpha }^{\prime }}\in U_{{\alpha }^{\prime },\beta }=U_{\beta }$。

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3: 記述2

ファイナイト（有限）数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2,...,T_n$、プロダクト$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$、任意のコンパクトサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、プロジェクション（射影）${\pi }_{j^{\prime }}(S)\subseteq T_{j^{\prime }}$、ここで、${\pi }_{j^{\prime }}:T\to T_{j^{\prime }}$、は$T_{j^{\prime }}$のコンパクトサブセット（部分集合）である。

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4: 証明2

任意の$p\in T$に対して、$p$の$j$コンポーネントを$p^j$と記そう、つまり、${\pi }_j(p)=p^j$。

$\{U_{\beta }\subseteq T_{j^{\prime }}|\beta \in B\}$を${\pi }_{j^{\prime }}(S)$の任意のオープンカバー（開被覆）、ここで、$B$はアンカウンタブルかもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、としよう。

$\{T_1\times ...\times T_{j^{\prime }-1}\times U_{\beta }\times T_{j^{\prime }+1}\times ...\times T_n\subseteq T|\beta \in B\}$は$S$のオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、任意のポイント$p\in S$に対して、ある$\beta \in B$に対して$p^{j^{\prime }}\in U_{\beta }$であり、任意の$j\ne j^{\prime }$および当該$\beta$に対して$p^j\in T_j$である、したがって、当該$\beta$に対して$p\in T_1\times ...\times T_{j^{\prime }-1}\times U_{\beta }\times T_{j^{\prime }+1}\times ...\times T_n$である。

$S$は$T$のコンパクトサブセット（部分集合）であるから、あるファイナイト（有限）オープンカバー（開被覆）$\{T_1\times ...\times T_{j^{\prime }-1}\times U_{\beta }\times T_{j^{\prime }+1}\times ...\times T_n|\beta \in J\}$、ここで、$J\subseteq B$はあるファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、がある。

$\{U_{\beta }\subseteq T_{j^{\prime }}|\beta \in J\}$はファイナイト（有限）サブカバーである、なぜなら、任意のポイント$p^{j^{\prime }}\in {\pi }_{j^{\prime }}(S)$に対して、それはあるポイント$p\in S$の$j^{\prime }$コンポーネントであり、ある$\beta \in J$に対して$p\in T_1\times ...\times T_{j^{\prime }-1}\times U_{\beta }\times T_{j^{\prime }+1}\times ...\times T_n$、それが意味するのは、$p^{j^{\prime }}\in U_{\beta }$。

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参考資料

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