427: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンノルム

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ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンノルムの定義

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話題

About: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によって誘導されたノルムの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンノルムの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^d$: $=\text{ ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持ったもの }$
$\ast \Vert \bullet \Vert$: $=\text{ ユークリディアンインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム }$
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コンディションたち:
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2: 自然言語記述

ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）${\mathbb{R}}^d$に対して、ユークリディアンインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet \Vert$

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3: 注

それは実際にノルムである、なぜなら、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムはノルムである、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のインナープロダクト（内積）はノルムを誘導するという命題によって。

ノルム付きベクトルたちスペース（空間）${\mathbb{R}}^d$は、実際にユークリディアンインナープロダクト（内積）を持っている必要はない: 当該インナープロダクト（内積）はノルムを定義するためだけに使われるのであり、当該インナープロダクト（内積）はその後忘れられてよい、もしもそう望むなら。実のところ、ユークリディアンノルムはユークリディアンインナープロダクト（内積）を用いずに定義されることができる、しかし、本定義はユークリディアンインナープロダクト（内積）を使用する、それが本当にノルムであることを別途証明することを省くために。

ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）はユークリディアンノルムを持っているものと暗黙に想定されがちだが、必ずしもそうではない。

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参考資料

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