ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはローカルにコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意の有限数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）数の任意のローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはローカルにコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
ファイナイト（有限）数の任意のローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2, . . ., T_n\)に対して、プロダクト\(T = T_1 \times T_2 \times . . . \times T_n\)はローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）である。
2: 証明
\(p \in T\)は任意のポイントであるとしよう。\(p^j\)を\(p\)の\(j\)コンポーネントとしよう。\(N_p \subseteq T\)を\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T\)、つまり、\(U_p \subseteq N_p\)、がある。\(U_p = \cup_{\alpha \in A} U_{1, \alpha} \times U_{2, \alpha} \times ... \times U_{n, \alpha}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブルかもしれないインデックスたちセット（集合）で\(U_{j, \alpha} \subseteq T_j\)はオープンサブセット（開部分集合）、プロダクトトポロジーの定義によって。以下を満たすある\(\alpha \in A\)、つまり、\(p \in U_{1, \alpha} \times U_{2, \alpha} \times ... \times U_{n, \alpha}\)、を取ることができる。
各\(j\)に対して、\(p^j\)の以下を満たすあるコンパクトネイバーフッド（近傍）\(N_{p^j} \in T_j\)、つまり、\(N_{p^j} \subseteq U_{j, \alpha}\)、がある、なぜなら、\(T_j\)はローカルにコンパクトで\(U_{j, \alpha}\)は\(p^j\)のネイバーフッド（近傍）である。
\(N'_p := N_{p^1} \times N_{p^2} \times ... \times N_{p^n} \subseteq U_{1, \alpha} \times U_{2, \alpha} \times ... \times U_{n, \alpha} \subseteq U_p \subseteq N_p \subseteq T\)、それは\(p\)のネイバーフッド（近傍）である、任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。
各\(N_{p^j}\)はコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。\(N'_p\)はコンパクトスペース（空間）である、任意の有限数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題によって。\(N'_p\)は\(T\)のサブスペース（部分空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって。\(N'_p\)は\(T\)のサブセット（部分集合）としてコンパクトである、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
したがって、\(N'_p\)は\(p\)のコンパクトネイバーフッド（近傍）で\(N_p\)内に包含されているものである。
したがって、\(T\)はローカルにコンパクトである。
3: 注
あるインフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対しては、当該ロジックは当てはまらない、なぜなら、\(N'_p\)は\(T\)のネイバーフッド（近傍）ではないであろう、なぜなら、\(\times_{\alpha \in A} U_{\alpha}\)はオープン（開）ではないであろう、\(U_{p^\alpha}\)たちの内のあるファイナイト（有限）数のものだけが\(T_\alpha\)と違うのでない限り。
