424: ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはローカルにコンパクトである

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ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはローカルにコンパクトであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
• 読者は、任意の有限数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）数の任意のローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはローカルにコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

ファイナイト（有限）数の任意のローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2,...,T_n$に対して、プロダクト$T=T_1\times T_2\times ...\times T_n$はローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）である。

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2: 証明

$p\in T$は任意のポイントであるとしよう。$p^j$を$p$の$j$コンポーネントとしよう。$N_p\subseteq T$を$p$の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。

以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T$、つまり、$U_p\subseteq N_p$、がある。$U_p={\cup }_{\alpha \in A}{U}_{1,\alpha }\times U_{2,\alpha }\times ...\times U_{n,\alpha }$、ここで、$A$はアンカウンタブルかもしれないインデックスたちセット（集合）で$U_{j,\alpha }\subseteq T_j$はオープンサブセット（開部分集合）、プロダクトトポロジーの定義によって。以下を満たすある$\alpha \in A$、つまり、$p\in U_{1,\alpha }\times U_{2,\alpha }\times ...\times U_{n,\alpha }$、を取ることができる。

各$j$に対して、$p^j$の以下を満たすあるコンパクトネイバーフッド（近傍）$N_{p^j}\in T_j$、つまり、$N_{p^j}\subseteq U_{j,\alpha }$、がある、なぜなら、$T_j$はローカルにコンパクトで$U_{j,\alpha }$は$p^j$のネイバーフッド（近傍）である。

$N_p^{\prime }:=N_{p^1}\times N_{p^2}\times ...\times N_{p^n}\subseteq U_{1,\alpha }\times U_{2,\alpha }\times ...\times U_{n,\alpha }\subseteq U_p\subseteq N_p\subseteq T$、それは$p$のネイバーフッド（近傍）である、任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。

各$N_{p^j}$はコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。$N_p^{\prime }$はコンパクトスペース（空間）である、任意の有限数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題によって。$N_p^{\prime }$は$T$のサブスペース（部分空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって。$N_p^{\prime }$は$T$のサブセット（部分集合）としてコンパクトである、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。

したがって、$N_p^{\prime }$は$p$のコンパクトネイバーフッド（近傍）で$N_p$内に包含されているものである。

したがって、$T$はローカルにコンパクトである。

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3: 注

あるインフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対しては、当該ロジックは当てはまらない、なぜなら、$N_p^{\prime }$は$T$のネイバーフッド（近傍）ではないであろう、なぜなら、${\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$はオープン（開）ではないであろう、$U_{p^{\alpha }}$たちの内のあるファイナイト（有限）数のものだけが$T_{\alpha }$と違うのでない限り。

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参考資料

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