2024年1月21日日曜日

459: カバリングマップ（写像）に対して、パスたちのプロダクト（積）のリフトはパスたちのリフトたちのプロダクト（積）である

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カバリングマップ（写像）に対して、パスたちのプロダクト（積）のリフトはパスたちのリフトたちのプロダクト（積）であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、プロダクト（積）が存在する任意の2つのパスたちのプロダクト（積）のリフトはパスたちの、プロダクト（積）が存在するリフトたちのプロダクト（積）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のコネクテッド（連結された）ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちT1,T2、任意のカバリングマップ（写像）π:T1→T2、それが意味するのは、πはコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイントp∈T2の周りにあるネイバーフッド（近傍）Np⊆T2でπによってイーブンにカバーされているものがある、クローズド（閉）インターバルT3:=I=[0,1]、以下を満たす任意のパスたちf1:T3→T2およびf2:T3→T2、つまり、f1(1)=f2(0)、各ポイントp0′∈π−1(f1(0))に対して、プロダクト（積）の以下を満たすリフトf1f2~:T3→T1、つまり、f1f2~(0)=p0′、は以下を満たすリフトたちのプロダクト（積）f1~f2~、つまり、f1~(0)=p0′およびf2~(0)=f1~(1)、である、つまり、f1f2~=f1~f2~。

2: 証明


f1f2の以下を満たすユニークなリフト、f1f2~、つまり、f1f2~(0)=p0′、がある、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって。π∘f1f2~=f1f2。0≤r≤1に対してπ∘f1f2~(2−1r)=f1(r)および0≤r≤1に対してπ∘f1f2~(2−1+2−1r)=f2(r)。実のところ、f1f2~(2−1r)はf1の以下を満たすユニークなリフト、つまり、f1~(0)=f1f2~(0)=p0′、である、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって、そして、f1f2~(2−1+2−1i)はf2の以下を満たすユニークなリフト、つまり、f2~(0)=f1f2~(2−1)=f1~(1)、である、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって。プロダクト（積）f1~f2~は存在し、f1f2~に等しい。

3: 注


リフトは、ある初期値を指定された後にのみユニークに決定される。したがって、f1の当該リフトとf2の恣意的なリフトのプロダクト（積）は存在しないかもしれない; 当該プロダクト（積）f1~f2~が存在する理由は、f2~はf2~(0)=f1~(1)であるように選ばれたことである。

参考資料
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