カバリングマップ（写像）に対して、パスたちのプロダクト（積）のリフトはパスたちのリフトたちのプロダクト（積）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、プロダクト（積）が存在する任意の2つのパスたちのプロダクト（積）のリフトはパスたちの、プロダクト（積）が存在するリフトたちのプロダクト（積）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクテッド（連結された）ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のカバリングマップ（写像）\(\pi: T_1 \to T_2\)、それが意味するのは、\(\pi\)はコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイント\(p \in T_2\)の周りにあるネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T_2\)で\(\pi\)によってイーブンにカバーされているものがある、クローズド（閉）インターバル\(T_3 := I = [0, 1]\)、以下を満たす任意のパスたち\(f_1: T_3 \to T_2\)および\(f_2: T_3 \to T_2\)、つまり、\(f_1 (1) = f_2 (0)\)、各ポイント\(p'_0 \in \pi^{-1} (f_1 (0))\)に対して、プロダクト（積）の以下を満たすリフト\(\widetilde{f_1 f_2}: T_3 \to T_1\)、つまり、\(\widetilde{f_1 f_2} (0) = p'_0\)、は以下を満たすリフトたちのプロダクト（積）\(\widetilde{f_1} \widetilde{f_2}\)、つまり、\(\widetilde{f_1} (0) = p'_0\)および\(\widetilde{f_2} (0) = \widetilde{f_1} (1)\)、である、つまり、\(\widetilde{f_1 f_2} = \widetilde{f_1} \widetilde{f_2}\)。
2: 証明
\(f_1 f_2\)の以下を満たすユニークなリフト、\(\widetilde{f_1 f_2}\)、つまり、\(\widetilde{f_1 f_2} (0) = p'_0\)、がある、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって。\(\pi \circ \widetilde{f_1 f_2} = f_1 f_2\)。\(0 \le r \le 1\)に対して\(\pi \circ \widetilde{f_1 f_2} (2^{-1} r) = f_1 (r)\)および\(0 \le r \le 1\)に対して\(\pi \circ \widetilde{f_1 f_2} (2^{-1} + 2^{-1} r) = f_2 (r)\)。実のところ、\(\widetilde{f_1 f_2} (2^{-1} r)\)は\(f_1\)の以下を満たすユニークなリフト、つまり、\(\widetilde{f_1} (0) = \widetilde{f_1 f_2} (0) = p'_0\)、である、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって、そして、\(\widetilde{f_1 f_2} (2^{-1} + 2^{-1} i)\)は\(f_2\)の以下を満たすユニークなリフト、つまり、\(\widetilde{f_2} (0) = \widetilde{f_1 f_2} (2^{-1}) = \widetilde{f_1} (1)\)、である、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって。プロダクト（積）\(\widetilde{f_1} \widetilde{f_2}\)は存在し、\(\widetilde{f_1 f_2}\)に等しい。
3: 注
リフトは、ある初期値を指定された後にのみユニークに決定される。したがって、\(f_1\)の当該リフトと\(f_2\)の恣意的なリフトのプロダクト（積）は存在しないかもしれない; 当該プロダクト（積）\(\widetilde{f_1} \widetilde{f_2}\)が存在する理由は、\(\widetilde{f_2}\)は\(\widetilde{f_2} (0) = \widetilde{f_1} (1)\)であるように選ばれたことである。
