カバリングマップ（写像）に対して、パスのリバース（反転）のリフトはパスのリフトのリバース（反転）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのリバース（反転）のリフトは当該パスのリフトのリバース（反転）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクテッド（連結された）ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のカバリングマップ（写像）\(\pi: T_1 \to T_2\)、それが意味するのは、\(\pi\)はコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイント\(p \in T_2\)の周りにあるネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T_2\)で\(\pi\)によってイーブンにカバーされているものがある、任意のクローズド（閉）インターバル\(T_3 := [r_1, r_2]\)、任意のパス\(f: T_3 \to T_2\)に対して、任意のポイント\(p_0 \in T_3\)および各ポイント\(p'_0 \in \pi^{-1} (f (p_0))\)に対して、\(f\)のリバース（反転）の以下を満たすリフト\(\widetilde{\overline{f}}: T_3 \to T_1\)、つまり、\(\widetilde{\overline{f}} (r_2 - (p_0 - r_1)) = p'_0\)、は\(f\)の以下を満たすリフトのリバース（反転）\(\overline{\widetilde{f}}\)、つまり、\(\widetilde{f} (p_0) = p'_0\)、である、つまり、\(\widetilde{\overline{f}} = \overline{\widetilde{f}}\)。
2: 証明
\(f\)の以下を満たすユニークなリフト\(\widetilde{f}\)、つまり、\(\widetilde{f} (p_0) = p'_0\)、がある、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって。
任意のパス\(f': [r_1, r_2] \to T\)、ここで、\(T\)は任意のトポロジカルスペース（空間）、に対して、\(\overline{f'} (r) = f' (r_2 - (r - r_1))\)および\(\overline{f'} (r_2 - (r - r_1)) = f' (r)\)、パスのリバース（反転）の定義によって。
\(\overline{\widetilde{f}} (r_2 - (r - r_1)) = \widetilde{f} (r)\)。\(\overline{\widetilde{f}} (r_2 - (p_0 - r_1)) = \widetilde{f} (p_0) = p'_0\)。\(\pi \circ \overline{\widetilde{f}} (r) = \pi \circ \widetilde{f} (r_2 - (r - r_1)) = f (r_2 - (r - r_1)) = \overline{f} (r)\)。\(\overline{f} (r_2 - (p_0 - r_1)) = f (p_0)\)であるので、\(\overline{f}\)の以下を満たすユニークなリフト、つまり\(\widetilde{\overline{f}} (r_2 - (p_0 - r_1)) = p'_0\)、がある、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって、そして、\(\overline{\widetilde{f}}\)はそれでなければならない、したがって、\(\widetilde{\overline{f}} = \overline{\widetilde{f}}\)。
