2024年1月21日日曜日

458: カバリングマップ（写像）に対して、パスのリバース（反転）のリフトはパスのリフトのリバース（反転）である

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カバリングマップ（写像）に対して、パスのリバース（反転）のリフトはパスのリフトのリバース（反転）であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのリバース（反転）のリフトは当該パスのリフトのリバース（反転）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のコネクテッド（連結された）ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちT1,T2、任意のカバリングマップ（写像）π:T1→T2、それが意味するのは、πはコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイントp∈T2の周りにあるネイバーフッド（近傍）Np⊆T2でπによってイーブンにカバーされているものがある、任意のクローズド（閉）インターバルT3:=[r1,r2]、任意のパスf:T3→T2に対して、任意のポイントp0∈T3および各ポイントp0′∈π−1(f(p0))に対して、fのリバース（反転）の以下を満たすリフトf―~:T3→T1、つまり、f―~(r2−(p0−r1))=p0′、はfの以下を満たすリフトのリバース（反転）f~―、つまり、f~(p0)=p0′、である、つまり、f―~=f~―。

2: 証明


fの以下を満たすユニークなリフトf~、つまり、f~(p0)=p0′、がある、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって。

任意のパスf′:[r1,r2]→T、ここで、Tは任意のトポロジカルスペース（空間）、に対して、f′―(r)=f′(r2−(r−r1))およびf′―(r2−(r−r1))=f′(r)、パスのリバース（反転）の定義によって。

f~―(r2−(r−r1))=f~(r)。f~―(r2−(p0−r1))=f~(p0)=p0′。π∘f~―(r)=π∘f~(r2−(r−r1))=f(r2−(r−r1))=f―(r)。f―(r2−(p0−r1))=f(p0)であるので、f―の以下を満たすユニークなリフト、つまりf―~(r2−(p0−r1))=p0′、がある、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって、そして、f~―はそれでなければならない、したがって、f―~=f~―。

参考資料
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