455: パスホモトピックパスたちのリフトたちで同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックである|T.B.P.日本語版

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パスホモトピックパスたちのリフトたちで同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックであることの記述/証明

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 記述
2: 証明

開始コンテキスト

読者は、カバリングマップ（写像）の定義を知っている。
読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の、カバリングマップ（写像）に関してのリフトの定義を知っている。
読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のクローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）たちのファイナイト（有限）プロダクトからの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してあるという命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のパスホモトピックパスたちのリフトたちで任意の同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意のコネクテッド（連結された）でローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち

T_{1}, T_{2}

、任意のカバリングマップ

π : T_{1} \to T_{2}

、それが意味するのは、

π

はコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイント

p \in T_{2}

の周りにあるネイバーフッド（近傍）

N_{p} \subseteq T_{2}

で

π

によってイーブンにカバーされているものがある、任意のクローズド（閉）インターバル

T_{3} := [r_{1}, r_{2}]

、任意のパスホモトピックパスたち

f_{1} : T_{3} \to T_{2}

および

f_{2} : T_{3} \to T_{2}

、以下を満たす任意のポイント

p_{0} \in T_{1}

、つまり、

π (p_{0}) = f_{1} (r_{1}) = f_{2} (r_{1})

、に対して、

f_{1}

および

f_{2}

のリフトたちで

p_{0}

から開始するものたち

f_{1}^{'} : T_{3} \to T_{1}

および

f_{2}^{'} : T_{3} \to T_{1}

はパスホモトピックである。

2: 証明

{r_{1}, r_{2}}

にレラティブ（相対的な）あるホモトピー

H : T_{3} \times I \to T_{2}

、

H (p, 0) = f_{1} (p)

、

H (p, 1) = f_{2} (p)

、

H (r_{1}, s) = f_{1} (r_{1}) = f_{2} (r_{1})

、

H (r_{2}, s) = f_{1} (r_{2}) = f_{2} (r_{2})

がある。

f_{1}^{'} (r_{1}) = f_{2}^{'} (r_{1}) = p_{0}

。

π \circ f_{i}^{'} = f_{i}

。

H

の、初期値

H^{'} (r_{1}, 0) = p_{0}

に対するユニークなリフト

H^{'} : T_{3} \times I \to T_{1}

がある、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のクローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）たちのファイナイト（有限）プロダクトからの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してあるという命題によって。

任意の固定された

s \in I

に対して、

H^{'} (p, s)

は

H (p, s)

の、初期値

H^{'} (r_{1}, s)

に対するユニークなリフトである、なぜなら、

π \circ H^{'} (p, s) = H (p, s)

。任意の固定された

p \in T_{3}

に対して、

H^{'} (p, s)

は

H (p, s)

の、初期値

H^{'} (p, 0)

に対するユニークなリフトである、なぜなら、

π \circ H^{'} (p, s) = H (p, s)

。

π \circ H^{'} (p, 0) = H (p, 0) = f_{1} (p)

、したがって、

f_{1}

の、初期値ち

H^{'} (r_{1}, 0) = p_{0}

に対するユニークなリフトとして、

H^{'} (p, 0) = f_{1}^{'} (p)

。コンスタントマップ（写像）

s \mapsto p_{0}

は

H (r_{1}, s)

の、初期値

0 \mapsto p_{0}

に対するあるリフトであり、

H^{'} (r_{1}, s)

は初期値

H^{'} (r_{1}, 0) = p_{0}

に対するユニークなリフトであるから、

H^{'} (r_{1}, s) = p_{0} = f_{1}^{'} (r_{1}) = f_{2}^{'} (r_{1})

。

π \circ H^{'} (p, 1) = H (p, 1) = f_{2} (p)

、したがって、

f_{2}

の、初期値

H^{'} (r_{1}, 1) = p_{0}

に対するユニークなリフトとして、

H^{'} (p, 1) = f_{2}^{'} (p)

。コンスタントマップ（写像）

s \mapsto f_{1}^{'} (r_{2})

は

H (r_{2}, s)

の、初期値

0 \mapsto f_{1}^{'} (r_{2})

に対するあるリフトであり、

H^{'} (r_{2}, s)

は初期値

H^{'} (r_{2}, 0) = f_{1}^{'} (r_{2})

に対するユニークなリフトであるから、

H^{'} (r_{2}, s) = f_{1}^{'} (r_{2}) = f_{2}^{'} (r_{2})

。

したがって、

H^{'}

は

{r_{1}, r_{2}}

にレラティブ（相対的な）ホモトピーである。

参考資料

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2024年1月14日日曜日