パスホモトピックパスたちのリフトたちで同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパスホモトピックパスたちのリフトたちで任意の同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクテッド（連結された）でローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のカバリングマップ\(\pi: T_1 \to T_2\)、それが意味するのは、\(\pi\)はコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイント\(p \in T_2\)の周りにあるネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T_2\)で\(\pi\)によってイーブンにカバーされているものがある、任意のクローズド（閉）インターバル\(T_3 := [r_1, r_2]\)、任意のパスホモトピックパスたち\(f_1: T_3 \to T_2\)および\(f_2: T_3 \to T_2\)、以下を満たす任意のポイント\(p_0 \in T_1\)、つまり、\(\pi (p_0) = f_1 (r_1) = f_2 (r_1)\)、に対して、\(f_1\)および\(f_2\)のリフトたちで\(p_0\)から開始するものたち\(f'_1: T_3 \to T_1\)および\(f'_2: T_3 \to T_1\)はパスホモトピックである。
2: 証明
\(\{r_1, r_2\}\)にレラティブ（相対的な）あるホモトピー\(H: T_3 \times I \to T_2\)、\(H (p, 0) = f_1 (p)\)、\(H (p, 1) = f_2 (p)\)、\(H (r_1, s) = f_1 (r_1) = f_2 (r_1)\)、\(H (r_2, s) = f_1 (r_2) = f_2 (r_2)\)がある。
\(f'_1 (r_1) = f'_2 (r_1) = p_0\)。\(\pi \circ f'_i = f_i\)。
\(H\)の、初期値\(H' (r_1, 0) = p_0\)に対するユニークなリフト\(H': T_3 \times I \to T_1\)がある、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のクローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）たちのファイナイト（有限）プロダクトからの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してあるという命題によって。
任意の固定された\(s \in I\)に対して、\(H' (p, s)\)は\(H (p, s)\)の、初期値\(H' (r_1, s)\)に対するユニークなリフトである、なぜなら、\(\pi \circ H' (p, s) = H (p, s)\)。任意の固定された\(p \in T_3\)に対して、\(H' (p, s)\)は\(H (p, s)\)の、初期値\(H' (p, 0)\)に対するユニークなリフトである、なぜなら、\(\pi \circ H' (p, s) = H (p, s)\)。
\(\pi \circ H' (p, 0) = H (p, 0) = f_1 (p)\)、したがって、\(f_1\)の、初期値ち\(H' (r_1, 0) = p_0\)に対するユニークなリフトとして、\(H' (p, 0) = f'_1 (p)\)。コンスタントマップ（写像）\(s \mapsto p_0\)は\(H (r_1, s)\)の、初期値\(0 \mapsto p_0\)に対するあるリフトであり、\(H' (r_1, s)\)は初期値\(H' (r_1, 0) = p_0\)に対するユニークなリフトであるから、\(H' (r_1, s) = p_0 = f'_1 (r_1) = f'_2 (r_1)\)。\(\pi \circ H' (p, 1) = H (p, 1) = f_2 (p)\)、したがって、\(f_2\)の、初期値\(H' (r_1, 1) = p_0\)に対するユニークなリフトとして、\(H' (p, 1) = f'_2 (p)\)。コンスタントマップ（写像）\(s \mapsto f'_1 (r_2)\)は\(H (r_2, s)\)の、初期値\(0 \mapsto f'_1 (r_2)\)に対するあるリフトであり、\(H' (r_2, s)\)は初期値\(H' (r_2, 0) = f'_1 (r_2)\)に対するユニークなリフトであるから、\(H' (r_2, s) = f'_1 (r_2) = f'_2 (r_2)\)。
したがって、\(H'\)は\(\{r_1, r_2\}\)にレラティブ（相対的な）ホモトピーである。
