450: カバリングマップ（写像）に対して、クローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）たちのファイナイト（有限）プロダクトからのコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してある

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カバリングマップ（写像）に対して、クローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）たちのファイナイト（有限）プロダクトからのコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してあることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、カバリングマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のカバリングマップ（写像）に関するリフトの定義を知っている。
• 読者は、ルベーグナンバー（数）補助定理を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のクローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）からの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してあるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のクローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）たちのファイナイト（有限）プロダクトからの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してあるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコネクテッド（連結された）でローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のカバリングマップ（写像）$\pi :T_1\to T_2$、それが意味するのは、$\pi$はコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイント$p\in T_2$の周りにあるネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T_2$があり、それは$\pi$によってイーブンにカバーされている、任意のいくつかのクローズド（閉）リアル（実）インターバルたちのファイナイト（有限）プロダクト$T_3=T_1^{\prime }\times T_2^{\prime }\times ...\times T_n^{\prime }$、ここで、$T_i^{\prime }:=[r_{i,1},r_{i,2}]\subseteq \mathbb{R}$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f:T_3\to T_2$に対して、$f$のユニークなリフト$f^{\prime }:T_3\to T_1$が任意の初期値$p_0=f^{\prime }(r_{1,1},r_{2,1},...,r_{n,1})$、ここで、$(r_{1,1},r_{2,1},...,r_{n,1})$は原点と呼ばれる、に対してある。

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2: 証明

サブスペース（部分空間）${\pi }^{-1}(N_p)$は複数のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち、それぞれ${{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }$と表記される、ここで、$\alpha \in A_p$、ここで、$A_p$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、からなるかもしれない。

あるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T_2$を$N_p$として取ることができる、なぜなら、もしも、$N_p$がオープン（開）でなければ、あるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq N_p$があり、それは、各${{\pi }^{-1}(U_p)}_{\alpha }$へ${\pi }_{p,\alpha }:=\pi {|}_{{{\pi }^{-1}(U_p)}_{\alpha }}:{{\pi }^{-1}(U_p)}_{\alpha }\to U_p$によってホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、${\pi }_{p,\alpha }$は明らかにバイジェクティブ（全単射）であり、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）をそれぞれ${{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }$および$N_p$のサブスペース（部分空間）たちとみなしてコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）$\pi {|}_{{{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }}:{{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }\to N_p$のリストリクション（制限）として、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、そして、そのインバース（逆）はドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）を同様にみなしてコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）${\pi {|}_{{{\pi }^{-1}(N_p)}_{\alpha }}}^{-1}$のリストリクション（制限）として、同様に、しかし、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、それらマップ（写像）たちはドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）をそれぞれ$T_1$および$T_2$のサブスペース（部分空間）たちとみなしてもコンティニュアス（連続）である。

任意のポイント$p\in T_3$に対して、ある$U_{f(p)}\subseteq T_2$および$\{{{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }\}\subseteq T_1$がある。$f$はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T_3$、つまり、$f(U_p)\subseteq U_{f(p)}$、がある。各$\alpha$に対して、マップ（写像）${{\pi }_{p,\alpha }}^{-1}:U_{f(p)}\to {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }=(\pi {|}_{{{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }}{)}^{-1}$、コンティニュアス（連続）、がある。$\{U_p\}$は$T_3$をカバーし、$T_3$はコンパクトである、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題によって。以下を満たすあるリアル（実）ナンバー（数）$\delta$、つまり、直径が$\delta$より小さい任意のサブセット（部分集合）は当該オープンカバー（開被覆）内のあるオープンサブセット（開部分集合）に包含されている、がある、ルベーグナンバー（数）補助定理によって。$T_3$をタイルで埋めよう、原点から開始して、辺の長さが${\delta }^{\prime }$であるキューブ（立方体）たち（${\delta }^{\prime }$は各キューブの直径を$\delta$より小さくする）でもって; 実際には、若干の余りたちがあり得る（$r_{i,2}-r_{i,1}$は${\delta }^{\prime }$の自然数倍でないかもしれないから）が、それらはより小さいクローズド（閉）直方体タイルたち、それらの直径たちはやはり$\delta$より小さい、で埋められる。すると、各クローズド（閉）直方体（キューブ（立方体）たちを含む）はある$U_p$内に包含されている。そうしたクローズド（閉）直方体たちのそれぞれは$u_{i_1,i_2,...,i_n}$と記される、原点から開始して番号付けされ、$0\le i_j\le m_j$。

$p_0=f^{\prime }(r_{1,1},r_{2,1},...,r_{n,1})$は固定されたと仮定しよう。

各$i$に対して、ユニークなリフト$f^{\prime }{|}_{\{r_{1,1}\}\times \{r_{2,1}\}\times ...\times \{r_{i-1,1}\}\times T_i^{\prime }\times \{r_{i+1,1}\}\times ...\times \{r_{n,1}\}}(p_1,p_2,...,p_i,...,p_n)$ of $f(r_{1,1},r_{2,1},...,p_i,...,r_{n,1})$、ここで、$r_{j,1}$は固定されている、がある、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のクローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）からの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してあるという命題によって。$S_0:={\cup }_i\{r_{1,1}\}\times \{r_{2,1}\}\times ...\times \{r_{i-1,1}\}\times T_i^{\prime }\times \{r_{i+1,1}\}\times ...\times \{r_{n,1}\}$が$f^{\prime }$の値たちがこれまでに定義済みのエリアである。

以下のように定義しよう、$S_{0,0,...,0}:=S_0\cup u_{0,0,...,0}$; $S_{i_1,i_2,...,i_n}:=S_{i_1,i_2,...,i_n-1}\cup u_{i_1,i_2,...,i_n}$、もしも、$0<i_n$である場合; $S_{i_1,i_2,...,i_{n-1},0}:=S_{i_1,i_2,...,i_{n-1}-1,m_n}\cup u_{i_1,i_2,...,i_n}$、もしも、$0<i_{n-1}$である場合; $S_{i_1,i_2,...,i_{n-2},0,0}:=S_{i_1,i_2,...,i_{n-2}-1,m_{n-1},m_n}\cup u_{i_1,i_2,...,i_n}$、もしも、$0<i_{n-2}$である場合; 等々と続く: それらは帰納的に以下の順序で定義されている: $S_{0,0,...,0},S_{0,0,...,0,1},...,S_{0,0,...,0,m_n},S_{0,0,...,0,1,0},S_{0,0,...,0,1,1},...,S_{0,0,...,0,1,m_n},S_{0,0,...,0,2,0},S_{0,0,...,0,2,1},...,S_{0,0,...,0,2,m_n},...,S_{0,0,...,0,m_{n-1},m_n},...,S_{m_1,m_2,...,m_{n-n},m_{n-1},m_n}$。

インターセクション（共通集合）サブスペース（部分空間）たちを以下のように定義しよう、$S_{0,0,...,0}^{\prime }:=S_0\cap u_{0,0,...,0}$; $S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }:=S_{i_1,i_2,...,i_n-1}\cap u_{i_1,i_2,...,i_n}$、もしも、$0<i_n$である場合; $S_{i_1,i_2,...,i_{n-1},0}^{\prime }:=S_{i_1,i_2,...,i_{n-1}-1,m_n}\cap u_{i_1,i_2,...,i_n}$、もしも、$0<i_{n-1}$である場合; $S_{i_1,i_2,...,i_{n-2},0,0}:=S_{i_1,i_2,...,i_{n-2}-1,m_{n-1},m_n}\cap u_{i_1,i_2,...,i_n}$、もしも、$0<i_{n-2}\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{る}\mathrm{場}\mathrm{合}$; 等々と続く: 前パラグラフ内の定義たちの中のユニオン（和集合）たちの代わりにインターセクション（共通集合）たちが取られたもの。

注意として、これ以降、$0<i_n$バージョンのみを示すかもしれない、他のケースたちも同様であるという意味が明らかである時は。

各$S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }$は$u_{i_1,i_2,...,i_n}$の左底ポイントとパスコネクテッド（連結された）である、したがって、コネクテッド（連結された）である、ことを示そう。$S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }$は、$u_{i_1,i_2,...,i_n}$の$S_0$とのインターセクション（共通集合）と$u_{i_1,i_2,...,i_n}$のいくつかの$u_{i_1^{\prime },i_2^{\prime },...,i_n^{\prime }}$たち、ここで、$i_j-1\le i_j^{\prime }\le i_j+1$、とのインターセクション（共通集合）たちからなる。$T_3$上のポイントをインデックスたち表現で考えよう: $u_{i_1,i_2,...,i_n}$上のポイントたちは$(i_1\sim i_1+1,i_2\sim i_2+1,...,i_n\sim i_n+1)$である。$u_{i_1,i_2,...,i_n}$の$S_0$とのインターセクション（共通集合）の各パートは、$u_{i_1,i_2,...,i_n}$のある$\{r_{1,1}\}\times \{r_{2,1}\}\times ...\times \{r_{j-1,1}\}\times T_j^{\prime }\times \{r_{j+1,1}\}\times ...\times \{r_{n,1}\}$とのインターセクション（共通集合）であり、それは、インデックスたち表現では$(0,...,0,i_j\sim i_j+1,0,...,0)$（$i_0=...=i_{j-1}=i_{j+1}=...=i_n=0$でなければならない）、それは左底ポイント$(i_1,i_2,...,i_n)=(0,...,0,i_j,0,...,0)$とパスコネクテッド（連結された）である。$u_{i_1,i_2,...,i_n}$のある$u_{i_1^{\prime },i_2^{\prime },...,i_n^{\prime }}$、ここで、$i_j-1\le i_j^{\prime }\le i_j+1$、とのインターセクション（共通集合）については、各$j$に対して$i_j-1\le i_j^{\prime }\le i_j$である時は、インターセクション（共通集合）は$(i_1\sim i_1+1,i_2,...,i_n\sim i_n+1)$、ここで、$j=1$に対してなどに"$i_j\sim i_j+1$"であるのは、$i_j^{\prime }=i_j$だからで、$j=2$に対してなどに"$i_j$"であるのは、$i_j-1=i_j^{\prime }$だから、のようになり、当該インターセクション（共通集合）は左底ポイント$(i_1,i_2,...,i_n)$とパスコネクテッド（連結された）である; いくつかの$j$たちに対して$i_j^{\prime }=i_j+1$である時は、インターセクション（共通集合）は、$(i_1\sim i_1+1,i_2,...,i_j+1,...,i_n\sim i_n+1)$のようになり、それは、実のところ、左底ポイント$(i_1,i_2,...,i_n)$とパスコネクテッド（連結された）でないのだが、$u_{i_1,i_2,...,i_n}$は対応する$u_{i_1^{\prime },i_2^{\prime },...,i_j^{\prime }-1=i_j,...,i_n}$（$i_j^{\prime }=i_j+1$である全ての$i_j^{\prime }$たちが$1$減ぜられた）ともインターセクトし（交わり）、そのインターセクション（共通集合）は$(i_1\sim i_1+1,i_2,...,i_j\sim i_j+1,...,i_n\sim i_n+1)$であり、それは前者インターセクション（共通集合）を包含しており、左底ポイント$(i_1,i_2,...,i_n)$とパスコネクテッド（連結された）である。したがって、$S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }$の各パートは$u_{i_1,i_2,...,i_n}$の左底ポイントとパスコネクテッド（連結された）であり、$S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }$は$u_{i_1,i_2,...,i_n}$の左底ポイントとパスコネクテッド（連結された）である、そうしたパートたちのファイナイト（有限）ユニオン（和集合）として。例えば、$S_{0,0,...,0}^{\prime }$は$u_{0,0,...,0}$の左底ポイントと接続している$u_{0,0,...,0}$のエッジ（辺）たちである; $S_{1,0,0}^{\prime }$はエッジ（辺）$(1\sim 2,0,0)$と$(1,0\sim 1,0\sim 1)$のユニオン（和集合）である。

$f^{\prime }{|}_{S_0}$は既に定義済である。$u_{0,0,...,0}\subseteq U_p$。$f(u_{0,0,...,0})\subseteq U_{f(p)}$。$S_{0,0,...,0}^{\prime }\subseteq S_0$であるから、$f^{\prime }{|}_{S_0}$はそこで既に定義済である。$f^{\prime }{|}_{S_0}(S_{0,0,...,0}^{\prime })\subseteq {\pi }^{-1}(U_{f(p)})$である、なぜなら、$S_{0,0,...,0}^{\prime }\subseteq u_{0,0,...,0}$であり、$\pi \circ f^{\prime }{|}_{S_0}(S_{0,0,...,0}^{\prime })=f(S_{0,0,...,0}^{\prime })\subseteq U_{f(p)}$、ところ、${{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$を$f^{\prime }{|}_{S_0}(S_{0,0,...,0}^{\prime })\subseteq {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$として選択しよう、それは妥当である、なぜなら、$S_{0,0,...,0}^{\prime }$はコネクテッド（連結された）であるから、$f^{\prime }{|}_{S_0}(S_{0,0,...,0}^{\prime })$はコネクテッド（連結された）である。${\pi }_{p,\alpha }:=\pi {|}_{{\pi }^{-1}(U_{f(p)}{)}_{\alpha }}$。$f^{\prime }{|}_{u_{0,0,...,0}}:=({\pi }_{p,\alpha }{)}^{-1}\circ f{|}_{u_{0,0,...,0}}$、コンティニュアス（連続）。$f^{\prime }{|}_{S_0}{|}_{S_{0,0,...,0}^{\prime }}=f^{\prime }{|}_{u_{0,0,...,0}}{|}_{S_{0,0,...,0}^{\prime }}$、なぜなら、$\pi \circ f^{\prime }{|}_{S_0}{|}_{S_{0,0,...,0}^{\prime }}=f{|}_{S_{0,0,...,0}^{\prime }}=\pi \circ f^{\prime }{|}_{u_{0,0,...,0}}{|}_{S_{0,0,...,0}^{\prime }}$、しかし、$f^{\prime }{|}_{S_0}{|}_{S_{0,0,...,0}^{\prime }}(S_{0,0,...,0}^{\prime }),f^{\prime }{|}_{u_{0,0,...,0}}{|}_{S_{0,0,...,0}^{\prime }}(S_{0,0,...,0}^{\prime })\subseteq {\pi }^{-1}(U_{f(p)}{)}_{\alpha }$であり${\pi }_{p,\alpha }$はインジェクティブ（単射）である。$f^{\prime }{|}_{S_{0,0,...,0}}$を以下のように定義しよう、つまり、$f^{\prime }{|}_{S_{0,0,...,0}}{|}_{S_0}=f^{\prime }{|}_{S_0}$および$f^{\prime }{|}_{S_{0,0,...,0}}{|}_{u_{0,0,...,0}}=f^{\prime }{|}_{u_{0,0,...,0}}$。したがって、$f^{\prime }$は$S_{0,0,...,0}$上で決定された。

$f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n-1}}$は既に定義済であると仮定しよう。$u_{i_1,i_2,...,i_n}\subseteq U_p$。$f(u_{i_1,i_2,...,i_n})\subseteq U_{f(p)}$。$S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }\subseteq S_{i_1,i_2,...,i_n-1}$であるから、$f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n-1}}$はそこで既に定義済である。$f^{\prime }{|}_{S_0}(S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime })\subseteq {\pi }^{-1}(U_{f(p)})$である、なぜなら、$S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }\subseteq u_{i_1,i_2,...,i_n}$であり、$\pi \circ f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n-1}}(S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime })=f(S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime })\subseteq U_{f(p)}$である、ところ、${{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$を$f^{\prime }(S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime })\subseteq {{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$として選択しよう、それは妥当である、なぜなら、$S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }$はコネクテッド（連結された）であるから、$f^{\prime }(S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime })$はコネクテッド（連結された）である。${\pi }_{p,\alpha }:=\pi {|}_{{\pi }^{-1}(U_{f(p)}{)}_{\alpha }}$。$f^{\prime }{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}:=({\pi }_{p,\alpha }{)}^{-1}\circ f{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}$、コンティニュアス（連続）。$f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n-1}}{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }}=f^{\prime }{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }}$、なぜなら、$\pi \circ f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n-1}}{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }}=f{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }}=\pi \circ f^{\prime }{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }}$、しかし、$f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n-1}}{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }}(S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }),f^{\prime }{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime }}(S_{i_1,i_2,...,i_n}^{\prime })\subseteq {\pi }^{-1}(U_{f(p)}{)}_{\alpha }$であり${\pi }_{p,\alpha }$はインジェクティブ（単射）である。$f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}}$を以下のように定義しよう、つまり、$f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}}{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n-1}}=f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n-1}}$および$f^{\prime }{|}_{S_{i_1,i_2,...,i_n}}{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}=f^{\prime }{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}$。したがって、$f^{\prime }$全体が決定された。

$f^{\prime }$は$f$のリフトであることを確認しよう。$f^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。任意の$p\in u_{i_1,i_2,...,i_n}$に対して、$\pi \circ f^{\prime }(p)=\pi \circ ({\pi }_{p,\alpha }{)}^{-1}\circ f(p)=f(p)$。

$f^{\prime }$はユニークである、なぜなら、それは、$S_0$上でユニークに決定され、$S_{i_1,i_2,...,i_n}$への各拡張には自由度が全くない: ${{\pi }^{-1}(U_{f(p)})}_{\alpha }$はユニークに決定され、$f^{\prime }{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}:=({\pi }_{p,\alpha }{)}^{-1}\circ f{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}$はそう定義されなければならない、$\pi \circ f^{\prime }{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}:=f{|}_{u_{i_1,i_2,...,i_n}}$を満たすためには。

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参考資料

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