483: バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）上のチャート

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バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）上のチャートの定義

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話題

About: トポロジカルマニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）上のチャートの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のバウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）$M$に対して、任意のオープンサブセット（部分集合）$U\subseteq M$と任意のホメオモーフィズム（位相同形写像）$\varphi :U\to \varphi (U)\subseteq {\mathbb{H}}^n\text{ or }{\mathbb{R}}^n$、ここで、$\varphi (U)$は${\mathbb{H}}^n\text{ or }{\mathbb{R}}^n$の任意のオープンサブセット（開部分集合）、のペア、$(U\subseteq M,\varphi )$と表記される

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2: 注

論理的には、$\varphi (U)$は${\mathbb{H}}^n$のオープンサブセット（開部分集合）のみが許されるようにできる、なぜなら、${\mathbb{R}}^d$の任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、代わりにそれにホメオモーフィック（位相同形写像）な${\mathbb{H}}^d$のあるオープンサブセット（開部分集合）を取ることができる。

私たちが${\mathbb{R}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）たちも許すのは、単に便宜のためのである: 任意のトポロジカルマニフォールド（多様体）（バウンダリー（境界）なし）に対して、${\mathbb{R}}^d$のあるオープンサブセット（開部分集合）は典型的には原点を中心とするように取られ、バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）のために議論が変更されなければならなくなってしまう（当該オープンサブセット（開部分集合）を${\mathbb{H}}^d$の中へ移動するか何かだけのことであるが）、もしも、${\mathbb{R}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）が許されなかったら: したがって、トポロジカルマニフォールド（多様体）（バウンダリー（境界）なし）についての議論をバウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）のために再利用するのに便利なのである。

あるバウンダリー（境界）付きあるトポロジカルマニフォールド（多様体）はトポロジカルマニフォールド（多様体）（ バウンダリー（境界）なし）、それは、実のところ、空のバウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）である、かもしれない、そして、そのケースのでは、各$\varphi (U)$は${\mathbb{R}}^n$のオープンサブセット（開部分集合）になる。

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参考資料

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