バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）上のチャートの定義
話題
About: トポロジカルマニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）上のチャートの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のバウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）\(M\)に対して、任意のオープンサブセット（部分集合）\(U \subseteq M\)と任意のホメオモーフィズム（位相同形写像）\(\phi: U \to \phi (U) \subseteq \mathbb{H}^n \text{ or } \mathbb{R}^n\)、ここで、\(\phi (U)\)は\(\mathbb{H}^n \text{ or } \mathbb{R}^n\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）、のペア、\((U \subseteq M, \phi)\)と表記される
2: 注
論理的には、\(\phi (U)\)は\(\mathbb{H}^n\)のオープンサブセット（開部分集合）のみが許されるようにできる、なぜなら、\(\mathbb{R}^d\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、代わりにそれにホメオモーフィック（位相同形写像）な\(\mathbb{H}^d\)のあるオープンサブセット（開部分集合）を取ることができる。
私たちが\(\mathbb{R}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）たちも許すのは、単に便宜のためのである: 任意のトポロジカルマニフォールド（多様体）（バウンダリー（境界）なし）に対して、\(\mathbb{R}^d\)のあるオープンサブセット（開部分集合）は典型的には原点を中心とするように取られ、バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）のために議論が変更されなければならなくなってしまう（当該オープンサブセット（開部分集合）を\(\mathbb{H}^d\)の中へ移動するか何かだけのことであるが）、もしも、\(\mathbb{R}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）が許されなかったら: したがって、トポロジカルマニフォールド（多様体）（バウンダリー（境界）なし）についての議論をバウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）のために再利用するのに便利なのである。
あるバウンダリー（境界）付きあるトポロジカルマニフォールド（多様体）はトポロジカルマニフォールド（多様体）（ バウンダリー（境界）なし）、それは、実のところ、空のバウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）である、かもしれない、そして、そのケースのでは、各\(\phi (U)\)は\(\mathbb{R}^n\)のオープンサブセット（開部分集合）になる。
