484: バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）に対するマキシマルアトラス

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バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）に対するマキシマルアトラスの定義

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話題

About: トポロジカルマニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）上のチャートの定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）に対するマキシマルアトラスの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のバウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）$M$に対して、互いに$C^{\mathrm{\infty }}$コンパティブル（互換）なチャートたちで$M$をカバーするものたちの任意のセット（集合）で任意の可能な$C^{\mathrm{\infty }}$コンパティブル（互換）チャートが既に追加され済みであるもの、ここで、"互いに$C^{\mathrm{\infty }}$コンパティブル（互換）なチャートたち"が意味するのは、任意の2チャートたち$(U_1\subseteq M,{\varphi }_1)$および$(U_2\subseteq M,{\varphi }_2)$に対して、${\varphi }_2\circ {{\varphi }_1}^{-1}{|}_{{\varphi }_1(U_1\cap U_2)}:{\varphi }_1(U_1\cap U_2)\to {\varphi }_2(U_1\cap U_2)$および${\varphi }_1\circ {{\varphi }_2}^{-1}{|}_{{\varphi }_2(U_1\cap U_2)}:{\varphi }_2(U_1\cap U_2)\to {\varphi }_1(U_1\cap U_2)$は各ポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$である（$U_1\cap U_2=\mathrm{\varnothing }$である時は、当該チャートたちは空虚に$C^{\mathrm{\infty }}$コンパティブル（互換）である）、ここで、${\varphi }_j(U_1\cap U_2)$は必ずしも${\mathbb{R}}^d$上でオープン（開）ではないが、$C^{\mathrm{\infty }}$性は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義による

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2: 注

"マキシマルコンティニュアス（連続）アトラス"について、互いにコンティニュアス（連続）にコンパティブル（互換）なチャートたちで$M$をカバーするものたちのセット（集合）として話すことはできるが、私たちはそうしない、なぜなら、それに対しては何の選択もない（それはユニークに決定される、なぜなら、任意の2チャートたちは不可避にコンティニュアス（連続）にコンパティブル（互換）である）; 私たちが特に"マキシマルアトラス"について本定義によって話すのは、それがいくつかの可能な複数の候補たちからあるアトラスを選択するという問題だからである。

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参考資料

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