472: ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてCkであるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいてCkである

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ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいて$C^k$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち${\mathbb{R}}^{d_1},{\mathbb{R}}^{d_2}$、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち$S_1,S_1^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1},S_2\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2}$、つまり、$S_1^{\prime }\subseteq S_1$、任意のポイント$p\in S_1^{\prime }$、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または$\mathrm{\infty }$ $k$、以下を満たす任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、つまり、$f$は$p$において$C^k$、に対して、$f{|}_{S_1^{\prime }}:S_1^{\prime }\to S_2$は$p$において$C^k$である。

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2: 証明

$k=0$である仮定しよう。

$f(p)$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq S_2$に対して、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq S_1$、つまり、$f(U_p)\subseteq U_{f(p)}$、がある。$U_p\cap S_1^{\prime }\subseteq S_1^{\prime }$は$p$の$S_1^{\prime }$上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、$f{|}_{S_1^{\prime }}(U_p\cap S_1^{\prime })\subseteq U_{f(p)}$。

$\mathrm{\infty }$を含んで$1\le k$であると仮定しよう。

$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$および以下を満たすあるマップ（写像）$f^{\prime }:U_p^{\prime }\to {\mathbb{R}}^{d_2}$で$p$において$C^k$であるもの、つまり、$f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}=f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}$、がある。$U_p^{\prime }$および$f^{\prime }$は$f{|}_{S_1^{\prime }}$に対しても使える、なぜなら、$f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1^{\prime }}=f{|}_{S_1^{\prime }}{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1^{\prime }}$。

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参考資料

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