ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいて\(C^k\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(\mathbb{R}^{d_1}, \mathbb{R}^{d_2}\)、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1, S'_1 \subseteq \mathbb{R}^{d_1}, S_2 \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)、つまり、\(S'_1 \subseteq S_1\)、任意のポイント\(p \in S'_1\)、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または\(\infty\) \(k\)、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)、つまり、\(f\)は\(p\)において\(C^k\)、に対して、\(f \vert_{S'_1}: S'_1 \to S_2\)は\(p\)において\(C^k\)である。
2: 証明
\(k = 0\)である仮定しよう。
\(f (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq S_2\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq S_1\)、つまり、\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、がある。\(U_p \cap S'_1 \subseteq S'_1\)は\(p\)の\(S'_1\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(f \vert_{S'_1} (U_p \cap S'_1) \subseteq U_{f (p)}\)。
\(\infty\)を含んで\(1 \le k\)であると仮定しよう。
\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)および以下を満たすあるマップ（写像）\(f': U'_p \to \mathbb{R}^{d_2}\)で\(p\)において\(C^k\)であるもの、つまり、\(f' \vert_{U'_p \cap S_1} = f \vert_{U'_p \cap S_1}\)、がある。\(U'_p\)および\(f'\)は\(f \vert_{S'_1}\)に対しても使える、なぜなら、\(f' \vert_{U'_p \cap S'_1} = f \vert_{S'_1} \vert_{U'_p \cap S'_1}\)。
