ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいて\(C^k\)である場合、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 私たちは、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、当該ポイントの任意のサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）が当該ポイントにおいて\(C^k\)である場合、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(\mathbb{R}^{d_1}, \mathbb{R}^{d_2}\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1 \subseteq \mathbb{R}^{d_1}, S_2 \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)、任意のポイント\(p \in S_1\)、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または\(\infty\) \(k\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)に対して、\(f\)は\(p\)において\(C^k\)である、もしも、\(p\)の\(S_1\)上の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U \subseteq S_1\)、つまり、\(f \vert_{U}: U \to S_2\)は\(p\)において\(C^k\)である、がある場合。
2: 証明
\(k = 0\)であると仮定しよう。
\(f (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq S_2\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq U\)、つまり、\(f \vert_{U} (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、がある。\(U_p \subseteq S_1\)は\(p\)の\(S_1\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって、そして、\(f (U_p) = f \vert_{U} (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)。
\(\infty\)を含んで\(1 \le k\)であると仮定しよう。
\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)および以下を満たすあるマップ（写像）\(f': U'_p \to \mathbb{R}^{d_2}\)で\(p\)において\(C^k\)であるもの、つまり、\(f' \vert_{U'_p \cap U} = f \vert_U \vert_{U'_p \cap U}\)、がある。\(U = U' \cap S_1\)、あるオープン（開）\(U' \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)に対して。\(U'_p \cap U' \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)は\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(f' \vert_{U'_p \cap U'}: U'_p \cap U' \to \mathbb{R}^{d_2}\)は\(p\)において\(C^k\)であり、\(f' \vert_{U'_p \cap U'} \vert_{U'_p \cap U' \cap S_1} = f' \vert_{U'_p \cap U} = f \vert_U \vert_{U'_p \cap U} = f \vert_{U'_p \cap U' \cap S_1}\)を満たす。
