ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(\mathbb{R}^{d_1}, \mathbb{R}^{d_2}, \mathbb{R}^{d_3}\)、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1 \subseteq \mathbb{R}^{d_1}, S_2, S'_2 \subseteq \mathbb{R}^{d_2}, S_3 \subseteq \mathbb{R}^{d_3}\)、つまり、\(S_2 \subseteq S'_2\)、任意のポイント\(p \in S_1\)、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または\(\infty\) \(k\)、以下を満たす任意のマップ（写像）たち\(f_1: S_1 \to S_2, f_2: S'_2 \to S_3\)、つまり、\(f_1\)および\(f_2\)は\(p\)および\(f_1 (p)\)において\(C^k\)、に対して、\(f_2 \circ f_1: S_1 \to S_3\)は\(p\)において\(C^k\)である。
2: 証明
\(k = 0\)であると仮定しよう。
\(f_2 \circ f_1\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成)は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(\infty\)を含んで\(1 \le k\)であると仮定しよう。
\(f_1 (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f_1 (p)} \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)および以下を満たすあるマップ（写像）\(f'_2: U'_{f_1 (p)} \to \mathbb{R}^{d_3}\)で\(f_1 (p)\)において\(C^k\)であるもの、つまり、\(f'_2 \vert_{U'_{f_1 (p)} \cap S'_2} = f_2 \vert_{U'_{f_1 (p)} \cap S'_2}\)、がある。\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)および以下を満たすあるマップ（写像）\(f'_1: U'_p \to \mathbb{R}^{d_2}\)で\(p\)において\(C^k\)であるもの、つまり、\(f'_1 \vert_{U'_p \cap S_1} = f_1 \vert_{U'_p \cap S_1}\)、がある。\(f'_1\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）である（定義の注を参照）から、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U''_p \subseteq U'_p\)、つまり、\(f'_1 (U''_p) \subseteq U'_{f_1 (p)}\)、がある。\(f'_2 \circ f'_1 \vert_{U''_p}: U''_p \to \mathbb{R}^{d_3}\)は\(p\)において\(C^k\)である、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのオープンサブセット（開部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたちの通常のコンポジション（合成）として。\(f'_2 \circ f'_1 \vert_{U''_p} \vert_{U''_p \cap S_1} = f'_2 \circ f_1 \vert_{U''_p \cap S_1} = f_2 \circ f_1 \vert_{U''_p \cap S_1}\)、なぜなら、\(f_1 (U''_p \cap S_1) \subseteq U'_{f_1 (p)} \cap S_2 \subseteq U'_{f_1 (p)} \cap S'_2\)。
