471: ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてCkであるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてCkである

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ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成)は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち${\mathbb{R}}^{d_1},{\mathbb{R}}^{d_2},{\mathbb{R}}^{d_3}$、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1},S_2,S_2^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2},S_3\subseteq {\mathbb{R}}^{d_3}$、つまり、$S_2\subseteq S_2^{\prime }$、任意のポイント$p\in S_1$、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または$\mathrm{\infty }$ $k$、以下を満たす任意のマップ（写像）たち$f_1:S_1\to S_2,f_2:S_2^{\prime }\to S_3$、つまり、$f_1$および$f_2$は$p$および$f_1(p)$において$C^k$、に対して、$f_2\circ f_1:S_1\to S_3$は$p$において$C^k$である。

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2: 証明

$k=0$であると仮定しよう。

$f_2\circ f_1$は$p$においてコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成)は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

$\mathrm{\infty }$を含んで$1\le k$であると仮定しよう。

$f_1(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f_1(p)}^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2}$および以下を満たすあるマップ（写像）$f_2^{\prime }:U_{f_1(p)}^{\prime }\to {\mathbb{R}}^{d_3}$で$f_1(p)$において$C^k$であるもの、つまり、$f_2^{\prime }{|}_{U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2^{\prime }}=f_2{|}_{U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2^{\prime }}$、がある。$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$および以下を満たすあるマップ（写像）$f_1^{\prime }:U_p^{\prime }\to {\mathbb{R}}^{d_2}$で$p$において$C^k$であるもの、つまり、$f_1^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}=f_1{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}$、がある。$f_1^{\prime }$は$p$においてコンティニュアス（連続）である（定義の注を参照）から、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{″}\subseteq U_p^{\prime }$、つまり、$f_1^{\prime }(U_p^{″})\subseteq U_{f_1(p)}^{\prime }$、がある。$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }{|}_{U_p^{″}}:U_p^{″}\to {\mathbb{R}}^{d_3}$は$p$において$C^k$である、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのオープンサブセット（開部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたちの通常のコンポジション（合成）として。$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }{|}_{U_p^{″}}{|}_{U_p^{″}\cap S_1}=f_2^{\prime }\circ f_1{|}_{U_p^{″}\cap S_1}=f_2\circ f_1{|}_{U_p^{″}\cap S_1}$、なぜなら、$f_1(U_p^{″}\cap S_1)\subseteq U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2\subseteq U_{f_1(p)}^{\prime }\cap S_2^{\prime }$。

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参考資料

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