468: ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいてCkであるもの、ここで、kは0を除外し∞を含む

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ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$を$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち${\mathbb{R}}^{d_1},{\mathbb{R}}^{d_2}$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1},S_2\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2}$、任意のポイント$p\in S$、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を除く）または$\mathrm{\infty }$の$k$に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、つまり、以下を満たす$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$およびあるマップ（写像）$f^{\prime }:U_p^{\prime }\to {\mathbb{R}}^{d_2}$がある、つまり、$f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}=f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}$であり$f^{\prime }$は$p$において$C^k$である、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$を$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によって

本定義が満たされている時、オープンサブセット（開部分集合）$U_p$（ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$を$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義内で言及されている）があり、その全体上で$f^{\prime }$は$C^k$であり、$f^{\prime }{|}_{U_p\cap S_1}=f{|}_{U_p\cap S_1}$である、なぜなら、$U_p\subseteq U_p^{\prime }$である。

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2: 注

$k=0$は除外されている、なぜなら、そのケースはポイントにおいてコンティニュアス（連続）なマップ（写像）として既に定義されている。

しかし、$f$が$p$において$C^k$（$1\le k$）であるとき、$f$は$p$において$C^0$である: $f(p)$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq S_2$に対して、$U_{f(p)}=U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2$、ここで、$U_{f(p)}^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2}$はオープン（開）である、そして、$f^{\prime }:U_p^{\prime }\to {\mathbb{R}}^{d_2}$は$p$において$C^k$であるから、$f^{\prime }$は$p$においてコンティニュアス（連続）である、そして、ｌ以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{″}\subseteq U_p^{\prime }$がある、つまり、$f^{\prime }(U_p^{″})\subseteq U_{f(p)}^{\prime }$、しかし、$U_p^{″}\cap S_1\subseteq S_1$は$p$のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、$f(U_p^{″}\cap S_1)=f^{\prime }(U_p^{″}\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2=U_{f(p)}$。

$f$のデリバティブ（微分係数）たちは必ずしも$S$上で取ることができないから、私たちは$U_p^{\prime }$を導入しなければならない。

$S_1$が${\mathbb{R}}^{d_1}$上でオープン（開）である場合、本定義は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$を$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義と一致する、なぜなら、そのケースでは、もしも、$f$が後者定義を満たせば、後者定義に対する$U_p\subseteq S_1$が存在し、$U_p^{\prime }$および$f^{\prime }$は前者定義に対して$U_p$および$f{|}_{U_p}$であると取ることができる; もしも、$f$が前者定義を満たせば、前者定義に対する$U_p^{\prime }$および$f^{\prime }$が存在するが、$U_p^{\prime }\cap S_1$は$p$の${\mathbb{R}}^{d_1}$上のオープンネイバーフッド（開近傍）であるから、$U_p^{\prime }\cap S_1$および$f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}$を代わりに取ることができ、前者定義に対する$U_p$は$U_p\subseteq U_p^{\prime }\cap S_1\subseteq S_1$を満たす、したがって、$U_p$を後者定義に対して取ることができる。

"$p$において$C^k$"と呼ばれているものの、$f$の$p$におけるデリバティブ（微分係数）たちは一般には必ずしも決定されない、なぜなら、それらは$f^{\prime }$の選択に依存するかもしれない: 例えば、$S_1=\{0\}\subseteq \mathbb{R}$および$f:S_1\to \mathbb{R}$, $0\mapsto 0$に対して、$f$は$0$において任意の$k$に対して$C^k$である、なぜなら、$f^{\prime }:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $r\mapsto ar$は$f^{\prime }(0)=f(0)$を満たし、任意の$a\in \mathbb{R}$に対して$C^k$である、しかし、1階デリバティブ（微分係数）$a$は$f^{\prime }$の選択に依存する。それでも、$C^k$性の本定義はウェルデファインド（妥当に定義されている）、なぜなら、それは、デリバティブ（微分係数）たちの存在を主張する意図をそもそも持っていない。

しかし、典型的には、$S_1$は、あるバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対するように、$S_1={\mathbb{H}}^{d_1}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$のようであり、そのケースでは、デリバティブ（微分係数）たちは$f^{\prime }$の選択に依存せず決定される、なぜなら、デリバティブ（微分係数）たちは実際に$f$によって決定される: 例えば、${\partial }_{d_1}{f}^{\prime }{|}_0=li{m}_{\delta \to +0}(f(0,...,0,\delta )-f(0,...,0,0))/\delta$。通常は（必ずしもではないが）、$f$の$C^k$性はそうしたケースにおいて語られる。

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参考資料

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