ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(\mathbb{R}^{d_1}, \mathbb{R}^{d_2}\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1 \subseteq \mathbb{R}^{d_1}, S_2 \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)、任意のポイント\(p \in S\)、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を除く）または\(\infty\)の\(k\)に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)、つまり、以下を満たす\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)およびあるマップ（写像）\(f': U'_p \to \mathbb{R}^{d_2}\)がある、つまり、\(f' \vert_{U'_p \cap S_1} = f \vert_{U'_p \cap S_1}\)であり\(f'\)は\(p\)において\(C^k\)である、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)を\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義によって
本定義が満たされている時、オープンサブセット（開部分集合）\(U_p\)（ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)を\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義内で言及されている）があり、その全体上で\(f'\)は\(C^k\)であり、\(f' \vert_{U_p \cap S_1} = f \vert_{U_p \cap S_1}\)である、なぜなら、\(U_p \subseteq U'_p\)である。
2: 注
\(k = 0\)は除外されている、なぜなら、そのケースはポイントにおいてコンティニュアス（連続）なマップ（写像）として既に定義されている。
しかし、\(f\)が\(p\)において\(C^k\)（\(1 \le k\)）であるとき、\(f\)は\(p\)において\(C^0\)である: \(f (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq S_2\)に対して、\(U_{f (p)} = U'_{f (p)} \cap S_2\)、ここで、\(U'_{f (p)} \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)はオープン（開）である、そして、\(f': U'_p \to \mathbb{R}^{d_2}\)は\(p\)において\(C^k\)であるから、\(f'\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）である、そして、ｌ以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U''_p \subseteq U'_p\)がある、つまり、\(f' (U''_p) \subseteq U'_{f (p)}\)、しかし、\(U''_p \cap S_1 \subseteq S_1\)は\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(f (U''_p \cap S_1) = f' (U''_p \cap S_1) \subseteq U'_{f (p)} \cap S_2 = U_{f (p)}\)。
\(f\)のデリバティブ（微分係数）たちは必ずしも\(S\)上で取ることができないから、私たちは\(U'_p\)を導入しなければならない。
\(S_1\)が\(\mathbb{R}^{d_1}\)上でオープン（開）である場合、本定義は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)を\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義と一致する、なぜなら、そのケースでは、もしも、\(f\)が後者定義を満たせば、後者定義に対する\(U_p \subseteq S_1\)が存在し、\(U'_p\)および\(f'\)は前者定義に対して\(U_p\)および\(f \vert_{U_p}\)であると取ることができる; もしも、\(f\)が前者定義を満たせば、前者定義に対する\(U'_p\)および\(f'\)が存在するが、\(U'_p \cap S_1\)は\(p\)の\(\mathbb{R}^{d_1}\)上のオープンネイバーフッド（開近傍）であるから、\(U'_p \cap S_1\)および\(f' \vert_{U'_p \cap S_1}\)を代わりに取ることができ、前者定義に対する\(U_p\)は\(U_p \subseteq U'_p \cap S_1 \subseteq S_1\)を満たす、したがって、\(U_p\)を後者定義に対して取ることができる。
"\(p\)において\(C^k\)"と呼ばれているものの、\(f\)の\(p\)におけるデリバティブ（微分係数）たちは一般には必ずしも決定されない、なぜなら、それらは\(f'\)の選択に依存するかもしれない: 例えば、\(S_1 = \{0\} \subseteq \mathbb{R}\)および\(f: S_1 \to \mathbb{R}\), \(0 \mapsto 0\)に対して、\(f\)は\(0\)において任意の\(k\)に対して\(C^k\)である、なぜなら、\(f': \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(r \mapsto a r\)は\(f' (0) = f (0)\)を満たし、任意の\(a \in \mathbb{R}\)に対して\(C^k\)である、しかし、1階デリバティブ（微分係数）\(a\)は\(f'\)の選択に依存する。それでも、\(C^k\)性の本定義はウェルデファインド（妥当に定義されている）、なぜなら、それは、デリバティブ（微分係数）たちの存在を主張する意図をそもそも持っていない。
しかし、典型的には、\(S_1\)は、あるバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対するように、\(S_1 = \mathbb{H}^{d_1} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)のようであり、そのケースでは、デリバティブ（微分係数）たちは\(f'\)の選択に依存せず決定される、なぜなら、デリバティブ（微分係数）たちは実際に\(f\)によって決定される: 例えば、\(\partial_{d_1} f' \vert_0 = lim_{\delta \to +0} (f (0, ..., 0, \delta) - f (0, ..., 0, 0)) / \delta\)。通常は（必ずしもではないが）、\(f\)の\(C^k\)性はそうしたケースにおいて語られる。
