469: バウンダリー（境界）付き$C^\infty$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\infty$を含む|T.B.P.日本語版

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バウンダリー（境界）付き

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて

C^{k}

なもの、ここで、

k

は

0

を除外し

\infty

を含む、の定義

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 定義
2: 注

開始コンテキスト

読者は、 $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
読者は、ユークリディアン $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて $C^{k}$ であるもの、ここで、 $k$ は $0$ を除外し $\infty$ を含む $k$ 、の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、バウンダリー（境界）付き $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて $C^{k}$ なもの、ここで、 $k$ は $0$ を除外し $\infty$ を含む、の定義を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 定義

（空かもしれない）バウンダリー付き任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たち

M_{1}, M_{2}

、任意のサブセット（部分集合）たち

S_{1} \subseteq M_{1}, S_{2} \subseteq M_{2}

、任意のポイント

p \in S_{1}

、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を除く）または

\infty

の

k

に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）

f : S_{1} \to S_{2}

、つまり、以下を満たす

p

の周りのあるチャート

(U_{p}^{'} \subseteq M_{1}, ϕ_{p}^{'})

および

f (p)

の周りのあるチャート

(U_{f (p)} \subseteq M_{2}, ϕ_{f (p)})

がある、つまり、

f (U_{p}^{'} \cap S_{1}) \subseteq U_{f (p)}

および

ϕ_{f (p)} \circ f \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap S_{1})} : ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap S_{1}) \to ϕ_{f (p)} (U_{f (p)})

は

ϕ_{p}^{'} (p)

において

C^{k}

である、ユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて

C^{k}

であるもの、ここで、

k

は

0

を除外し

\infty

を含む

k

、の定義によって

本定義が満たされている時、オープンサブセット（開部分集合）

U_{ϕ_{p}^{'} (p)}

（ユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて

C^{k}

であるもの、ここで、

k

は

0

を除外し

\infty

を含む

k

、の定義内で言及されている）があり、その全体上で

f^{'}

は

C^{k}

であり、

f^{'} |_{U_{ϕ_{p}^{'} (p)} \cap ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap S_{1})} = ϕ_{f (p)} \circ f \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{U_{ϕ_{p}^{'} (p)} \cap ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap S_{1})}

である。

U_{ϕ_{p}^{'} (p)} \cap ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'})

は

ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'})

のオープンサブセット（開部分集合）であるから、

{ϕ_{p}^{'}}^{- 1} (U_{ϕ_{p}^{'} (p)} \cap ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'}))

は

U_{p}^{'}

上でおよび

M_{1}

上でオープン（開）であり、したがって、

{ϕ_{p}^{'}}^{- 1} (U_{ϕ_{p}^{'} (p)} \cap ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'}))

を代わりに

U_{p}^{'}

であると取ることができ、当該条件たちを満たす、すると、

ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'}) \subseteq U_{ϕ_{p}^{'} (p)}

。

ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'})

が

R^{d_{1}}

上でオープン（開）である時、

U_{ϕ_{p}^{'} (p)}

は

ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'})

内に包含されるように取ることができ、すると、

U_{ϕ_{p}^{'} (p)} \subseteq ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'})

。もしも、その上、前段落内におけるように

{ϕ_{p}^{'}}^{- 1} (U_{ϕ_{p}^{'} (p)} \cap ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'}))

を代わりに

U_{p}^{'}

であるように取れば、

ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'}) = U_{ϕ_{p}^{'} (p)}

。

2: 注

k = 0

は除外されている、なぜなら、そのケースはポイントにおいてコンティニュアス（連続）なマップ（写像）として既に定義されている。

しかし、

f

が

p

において

C^{k}

（

1 \leq k

）である時、

f

は

p

において

C^{0}

である:

f (p)

の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{f (p)}^{'} \subseteq S_{2}

に対して、私たちは

U_{f (p)}^{'} \subseteq U_{f (p)}

であるケースのみを考えることができる、なぜなら、そうでなければ、私たちは

U_{f (p)}^{'} \cap U_{f (p)}

、それは

S_{2}

上でオープン（開）、のことを代わりに考えることができる;

U_{f (p)}^{'} = U_{f (p)}^{″} \cap S_{2}

、ここで、

U_{f (p)}^{″} \subseteq M_{2}

はオープン（開）であり、私たちは

U_{f (p)}^{″} \subseteq U_{f (p)}

と取ることができる;

ϕ_{f (p)} (U_{f (p)}^{″}) \subseteq ϕ_{f (p)} (U_{f (p)})

は

H^{d_{2}}

または

R^{d_{2}}

上でオープン（開）であり、

ϕ_{f (p)} (U_{f (p)}^{″}) = U_{ϕ_{f (p)} (f (p))} \cap H^{d_{2}} or U_{ϕ_{f (p)} (f (p))} \cap R^{d_{2}}

、ここで、

U_{ϕ_{f (p)} (f (p))} \subseteq R^{d_{2}}

はオープン（開）;

ϕ_{f (p)} \circ f \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap S_{1})}

のエクステンション（拡張）

f^{'} : U_{ϕ_{p} (p)}^{'} \to R^{d_{2}}

は

C^{k}

であり

ϕ_{p} (p)

においてコンティニュアス（連続）である;

ϕ_{p} (p)

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{ϕ_{p} (p)}^{″} \subseteq U_{ϕ_{p} (p)}^{'}

がある、つまり、

f^{'} (U_{ϕ_{p} (p)}^{″}) \subseteq U_{ϕ_{f (p)} (f (p))}

;

U_{ϕ_{p} (p)}^{″} \cap ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'})

は

ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'})

上でオープン（開）であり、

{ϕ_{p}^{'}}^{- 1} (U_{ϕ_{p} (p)}^{″} \cap ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'})) \subseteq U_{p}^{'}

は

U_{p}^{'}

上でおよび

M_{1}

上でオープン（開）である;

U_{p}^{″} := {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} (U_{ϕ_{p} (p)}^{″} \cap ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'})) \cap S_{1}

は

S_{1}

上でオープン（開）である;

f (U_{p}^{″}) = {ϕ_{f (p)}}^{- 1} \circ ϕ_{f (p)} \circ f \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} \circ ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{″}) = {ϕ_{f (p)}}^{- 1} \circ f^{'} \circ ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{″})

、しかし、

ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{″}) \subseteq U_{ϕ_{p} (p)}^{″}

、したがって、

f^{'} \circ ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{″}) \subseteq U_{ϕ_{f (p)} (f (p))}

であり、それは

H^{n^{'}}

または

R^{n^{'}}

内にも包含されている、なぜなら、当該コーディネート（座標）たちファンクション（関数）はその中へマップするから、したがって、それは

ϕ_{f (p)} (U_{f (p)}^{″})

内に包含されている; したがって、

f (U_{p}^{″}) \subseteq U_{f (p)}^{″} \cap S_{2} = U_{f (p)}^{'}

である。

M_{1}

および

M_{2}

が任意のユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちである時、本定義は、ユークリディアン

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて

C^{k}

であるもの、ここで、

k

は

0

を除外し

\infty

を含む

k

、の定義と一致する、なぜなら、そのケースにおいては、もしも、

f

が後者定義を満たせば、私たちは、前者定義に対して、

(U_{p}^{'} = M_{1} \subseteq M_{1}, ϕ_{p}^{'} = i d)

および

(U_{f (p)} = M_{2} \subseteq M_{2}, ϕ_{f (p)} = i d)

と取ることができ、

ϕ_{f (p)} \circ f \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap S_{1})} = f

、それは、後者定義によって

ϕ_{p}^{'} (p) = p

において

C^{k}

である; もしも、

f

は前者定義を満たせば、

ϕ_{f (p)} \circ f \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap S_{1})}

は

ϕ_{p}^{'} (p)

において

C^{k}

である一方、

i d \circ {ϕ_{f (p)}}^{- 1} \circ ϕ_{f (p)} \circ f \circ {ϕ_{p}^{'}}^{- 1} |_{ϕ_{p}^{'} (U_{p}^{'} \cap S_{1})} \circ ϕ_{p}^{'} \circ {i d}^{- 1} |_{U_{p}^{'} \cap S_{1}} = f |_{U_{p}^{'} \cap S_{1}}

は

p

において

C^{k}

である、なぜなら、トランジション（遷移）マップ（写像）たちはディフェオモーフィズムたちである、任意のバウンダリー付き

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて

C^{k}

であるもの、ここで、

k

は

\infty

を含む、に対して、その、当該ポイントを包含する任意のサブセット（部分集合）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて

C^{k}

であるという命題および任意のバウンダリー付き

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて

C^{k}

であるものたちのコンポジション（合成）、ここで、

k

は

\infty

を含む、は当該ポイントにおいて

C^{k}

であるという命題によって、したがって、

f

は

p

において

C^{k}

である、任意のバウンダリー付き

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）は任意のポイントにおいて

C^{k}

である、ここで、

k

は

\infty

を含む、もしも、その、当該ポイントを包含する任意のオープン（開）サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）が当該ポイントにおいて

C^{k}

である場合、という命題によって。

参考資料

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2024年2月4日日曜日