バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
（空かもしれない）バウンダリー付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1 \subseteq M_1, S_2 \subseteq M_2\)、任意のポイント\(p \in S_1\)、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を除く）または\(\infty\)の\(k\)に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)、つまり、以下を満たす\(p\)の周りのあるチャート\((U'_p \subseteq M_1, \phi'_p)\)および\(f (p)\)の周りのあるチャート\((U_{f (p)} \subseteq M_2, \phi_{f (p)})\)がある、つまり、\(f (U'_p \cap S_1) \subseteq U_{f (p)}\)および\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S_1)}: \phi'_p (U'_p \cap S_1) \to \phi_{f (p)} (U_{f (p)})\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C ^k\)である、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む\(k\)、の定義によって
本定義が満たされている時、オープンサブセット（開部分集合）\(U_{\phi'_p (p)}\)（ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む\(k\)、の定義内で言及されている）があり、その全体上で\(f'\)は\(C^k\)であり、\(f' \vert_{U_{\phi'_p (p)} \cap \phi'_p (U'_p \cap S_1)} = \phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{U_{\phi'_p (p)} \cap \phi'_p (U'_p \cap S_1)}\)である。
\(U_{\phi'_p (p)} \cap \phi'_p (U'_p)\)は\(\phi'_p (U'_p)\)のオープンサブセット（開部分集合）であるから、\({\phi'_p}^{-1} (U_{\phi'_p (p)} \cap \phi'_p (U'_p))\)は\(U'_p\)上でおよび\(M_1\)上でオープン（開）であり、したがって、\({\phi'_p}^{-1} (U_{\phi'_p (p)} \cap \phi'_p (U'_p))\)を代わりに\(U'_p\)であると取ることができ、当該条件たちを満たす、すると、\(\phi'_p (U'_p) \subseteq U_{\phi'_p (p)}\)。
\(\phi'_p (U'_p)\)が\(\mathbb{R}^{d_1}\)上でオープン（開）である時、\(U_{\phi'_p (p)}\)は\(\phi'_p (U'_p)\)内に包含されるように取ることができ、すると、\(U_{\phi'_p (p)} \subseteq \phi'_p (U'_p)\)。もしも、その上、前段落内におけるように\({\phi'_p}^{-1} (U_{\phi'_p (p)} \cap \phi'_p (U'_p))\)を代わりに\(U'_p\)であるように取れば、\(\phi'_p (U'_p) = U_{\phi'_p (p)}\)。
2: 注
\(k = 0\)は除外されている、なぜなら、そのケースはポイントにおいてコンティニュアス（連続）なマップ（写像）として既に定義されている。
しかし、\(f\)が\(p\)において\(C^k\)（\(1 \le k\)）である時、\(f\)は\(p\)において\(C^0\)である: \(f (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f (p)} \subseteq S_2\)に対して、私たちは\(U'_{f (p)} \subseteq U_{f (p)}\)であるケースのみを考えることができる、なぜなら、そうでなければ、私たちは\(U'_{f (p)} \cap U_{f (p)}\)、それは\(S_2\)上でオープン（開）、のことを代わりに考えることができる; \(U'_{f (p)} = U''_{f (p)} \cap S_2\)、ここで、\(U''_{f (p)} \subseteq M_2\)はオープン（開）であり、私たちは\(U''_{f (p)} \subseteq U_{f (p)}\)と取ることができる; \(\phi_{f (p)} (U''_{f (p)}) \subseteq \phi_{f (p)} (U_{f (p)})\)は\(\mathbb{H}^{d_2}\)または\(\mathbb{R}^{d_2}\)上でオープン（開）であり、\(\phi_{f (p)} (U''_{f (p)}) = U_{\phi_{f (p)} (f (p))} \cap \mathbb{H}^{d_2} \text{ or } U_{\phi_{f (p)} (f (p))} \cap \mathbb{R}^{d_2}\)、ここで、\(U_{\phi_{f (p)} (f (p))} \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)はオープン（開）; \(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S_1)}\)のエクステンション（拡張）\(f': U'_{\phi_p (p)} \to \mathbb{R}^{d_2}\)は\(C^k\)であり\(\phi_p (p)\)においてコンティニュアス（連続）である; \(\phi_p (p)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U''_{\phi_p (p)} \subseteq U'_{\phi_p (p)}\)がある、つまり、\(f' (U''_{\phi_p (p)}) \subseteq U_{\phi_{f (p)} (f (p))}\); \(U''_{\phi_p (p)} \cap \phi'_p (U'_p)\)は\(\phi'_p (U'_p)\)上でオープン（開）であり、\({\phi'_p}^{-1} (U''_{\phi_p (p)} \cap \phi'_p (U'_p)) \subseteq U'_p\)は\(U'_p\)上でおよび\(M_1\)上でオープン（開）である; \(U''_p := {\phi'_p}^{-1} (U''_{\phi_p (p)} \cap \phi'_p (U'_p)) \cap S_1\)は\(S_1\)上でオープン（開）である; \(f (U''_p) = {\phi_{f (p)}}^{-1} \circ \phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \circ \phi'_p (U''_p) = {\phi_{f (p)}}^{-1} \circ f' \circ \phi'_p (U''_p)\)、しかし、\(\phi'_p (U''_p) \subseteq U''_{\phi_p (p)}\)、したがって、\(f' \circ \phi'_p (U''_p) \subseteq U_{\phi_{f (p)} (f (p))}\)であり、それは\(\mathbb{H}^{n'}\)または\(\mathbb{R}^{n'}\)内にも包含されている、なぜなら、当該コーディネート（座標）たちファンクション（関数）はその中へマップするから、したがって、それは\(\phi_{f (p)} (U''_{f (p)})\)内に包含されている; したがって、\(f (U''_p) \subseteq U''_{f (p)} \cap S_2 = U'_{f (p)}\)である。
\(M_1\)および\(M_2\)が任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちである時、本定義は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む\(k\)、の定義と一致する、なぜなら、そのケースにおいては、もしも、\(f\)が後者定義を満たせば、私たちは、前者定義に対して、\((U'_p = M_1 \subseteq M_1, \phi'_p = id)\)および\((U_{f (p)} = M_2 \subseteq M_2, \phi_{f (p)} = id)\)と取ることができ、\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S_1)} = f\)、それは、後者定義によって\(\phi'_p (p) = p\)において\(C^k\)である; もしも、\(f\)は前者定義を満たせば、\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S_1)}\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C^k\)である一方、\(id \circ {\phi_{f (p)}}^{-1} \circ \phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S_1)} \circ \phi'_p \circ {id}^{-1} \vert_{U'_p \cap S_1} = f \vert_{U'_p \cap S_1}\)は\(p\)において\(C^k\)である、なぜなら、トランジション（遷移）マップ（写像）たちはディフェオモーフィズムたちである、任意のバウンダリー付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、その、当該ポイントを包含する任意のサブセット（部分集合）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題および任意のバウンダリー付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたちのコンポジション（合成）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって、したがって、\(f\)は\(p\)において\(C^k\)である、任意のバウンダリー付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）は任意のポイントにおいて\(C^k\)である、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、もしも、その、当該ポイントを包含する任意のオープン（開）サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）が当該ポイントにおいて\(C^k\)である場合、という命題によって。
