467: ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいてCkなもの、ここで、kは0を除外し∞を含む

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ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$を$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$を$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^{d_1}$: $=\text{ 当該ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
${\mathbb{R}}^{d_2}$: $=\text{ 当該ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
$U$: $\in \{{\mathbb{R}}^{d_1}\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$S$: $\in \{{\mathbb{R}}^{d_2}\text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\}$
$p$: $\in U$
$k$: $\in (\mathbb{N}\setminus \{0\})\cup \{\mathrm{\infty }\}$
$\ast f$: $:U\to S$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\exists }{U}_p\in \{p\text{ の }{\mathbb{R}}^{d_1}\text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }{U}_p\subseteq U(f\text{ の }k\text{ 次までの全てのパーシャルデリバティブ（変微分係数）たち（ }k=\mathrm{\infty }\text{ の時は、それが意味するのは、全ての次数の全てのパーシャルデリバティブ（変微分係数たち））が }{U}_p\text{ 上で存在する }\wedge U_p\text{ から }{\mathbb{R}}^{d_2}\text{ の中へのマップ（写像）たちとしての当該デリバティブ（変微分係数マップ（写像）たちは }{U}_p\text{ 上でコンティニュアス（連続）である})$
//

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2: 自然言語記述

任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち${\mathbb{R}}^{d_1},{\mathbb{R}}^{d_2}$、任意のオープンサブセット（開部分集合）$U\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2}$、任意のポイント$p\in U$、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を除く）または$\mathrm{\infty }$ $k$に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）$f:U\to S$、つまり、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$がある、つまり、$U_p\subseteq U$および$f$の$k$次までの全てのパーシャルデリバティブ（変微分係数）たち（$k=\mathrm{\infty }$である時は、それが意味するのは、全ての次数の全てのパーシャルデリバティブ（変微分係数たち））が$U_p$上で存在し、$U_p$から${\mathbb{R}}^{d_2}$の中へのマップ（写像）たちとしての当該デリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちは$U_p$上でコンティニュアス（連続）である

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3: 注

$k=0$は除外されている、なぜなら、そのケースはポイントにおいてコンティニュアス（連続）なマップ（写像）として既に定義されている。

しかし、$f$が$p$において$C^k$（$1\le k$）である時、$f$は$p$において$C^0$である: $f(p)$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq S$に対して、$U_{f(p)}=U_{f(p)}^{\prime }\cap S$、ここで、$U_{f(p)}^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2}$はオープン（開）、であり、$f{|}_{U_p}:U_p\to {\mathbb{R}}^{d_2}$は$C^k$であるから、$f{|}_{U_p}$は$p$においてコンティニュアス（連続）であり、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq U_p\subseteq U$、つまり、$f{|}_{U_p}(U_p^{\prime })\subseteq U_{f(p)}^{\prime }$、がある、しかし、$f(U_p^{\prime })\subseteq U_{f(p)}^{\prime }\cap S=U_{f(p)}$。

$f$は${\mathbb{R}}^n$のあるオープンサブセット（開部分集合）からのものであると要求されている、$f$のデリバティブ（微分係数）たちが$p$において存在するために。

ドメイン（定義域）が${\mathbb{R}}^n$の任意のサブセット（部分集合）であるケースに対する定義がある。

"$p$において$C^k$"と呼ばれているが、デリバティブ（微分係数）たちは$U_p$全体で存在するように要求されている、なぜなら、$k-1$階までのパーシャルデリバティブ（偏微分係数）たちが$k$階パーシャルデリバティブ（偏微分係数）たちが存在するために$p$のあるネイバーフッド（近傍）上で存在しなければならないことに加え、デリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちのコンティニュアス（連続）性を$\{p\}$からのマップ（写像）たちとして判断するのは意味がない、コンスタントマップ（写像）たちとして空虚にコンティニュアス（連続）であるから。

$p$においてのみコンティニュアス（連続）性を要求するより弱い定義もあり得る、それを私たちは採択しなかった、なぜなら、"$p$においてだけコンティニュアス（連続）"ケースを私たちは特に必要としていないから。

$S$は${\mathbb{R}}^{d_2}$上でオープン（開）である必要はない、なぜなら、デリバティブ（微分係数）たちを取ることもコンティニュアス（連続）性を判断することも$S$がオープン（開）であることを要求しない。

$k=\mathrm{\infty }$ケースに対する、本定義は、全ての$k$階パーシャルデリバティブ（偏微分係数）たちに対してある共通の$U_p$が存在するように要求している、その一方で、より弱い定義で、各$k$に対してある$U_{p,k}$が存在するように要求するものもあり得る、それは、少なくとも直接には私たちの定義とは異なる、なぜなら、${\cap }_k{U}_{p,k}$はオープン（開）でないかもしれない、そうでないと証明されない限りは。

$f$が各$p\in U$において$C^k$である時は、$U_p$は、$U$に取ることができる: $U={\cup }_{p\in U}{U}_p$である一方、各$p\in U_{p^{\prime }}\cap U_{p^{″}}$に対して、$p$における$U_{p^{\prime }}$上の各$j$次パーシャルデリバティブ（偏微分係数）は、$U_{p^{″}}$上におけるそれと等しく、したがって、$U$から${\mathbb{R}}^{d_2}$の中へのデリバティブ（微分係数）マップ（写像）が、$U_p$たちからのデリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちの複合（それが意味するのは、$U$からの当該デリバティブ（微分係数）マップ（写像）の各ドメイン（定義域）リストリクション（制限）は$U_p$からの当該デリバティブ（微分係数）マップ（写像）であることを意味する）としてあり、それ（$U$からの当該デリバティブ（微分係数）マップ（写像））はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。

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参考資料

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