ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)を\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)を\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(\mathbb{R}^{d_1}, \mathbb{R}^{d_2}\)、任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)、任意のポイント\(p \in U\)、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を除く）または\(\infty\)の\(k\)に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: U \to S\)、つまり、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)、つまり、\(U_p \subseteq U\)、があり、\(f\)の\(k\)階までの全てのパーシャルデリバティブ（偏微分係数）たち（\(k = \infty\)の時は、それが意味するのは、あらゆる階数の全てのパーシャルデリバティブ（偏微分係数）たち）が\(U_p\)上で存在し、\(U_p\)から\(\mathbb{R}^{d_2}\)の中へのマップ（写像）たちとしてのそれらデリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちが\(U_p\)上でコンティニュアス（連続）である
2: 注
\(k = 0\)は除外されている、なぜなら、そのケースはポイントにおいてコンティニュアス（連続）なマップ（写像）として既に定義されている。
しかし、\(f\)が\(p\)において\(C^k\)（\(1 \le k\)）である時、\(f\)は\(p\)において\(C^0\)である: \(f (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq S\)に対して、\(U_{f (p)} = U'_{f (p)} \cap S\)、ここで、\(U'_{f (p)} \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)はオープン（開）、であり、\(f \vert_{U_p}: U_p \to \mathbb{R}^{d_2}\)は\(C^k\)であるから、\(f \vert_{U_p}\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）であり、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq U_p \subseteq U\)、つまり、\(f \vert_{U_p} (U'_p) \subseteq U'_{f (p)}\)、がある、しかし、\(f (U'_p) \subseteq U'_{f (p)} \cap S = U_{f (p)}\)。
\(f\)は\(\mathbb{R}^n\)のあるオープンサブセット（開部分集合）からのものであると要求されている、\(f\)のデリバティブ（微分係数）たちが\(p\)において存在するために。
ドメイン（定義域）が\(\mathbb{R}^n\)の任意のサブセット（部分集合）であるケースに対する定義がある。
"\(p\)において\(C^k\)"と呼ばれているが、デリバティブ（微分係数）たちは\(U_p\)全体で存在するように要求されている、なぜなら、\(k - 1\)階までのパーシャルデリバティブ（偏微分係数）たちが\(k\)階パーシャルデリバティブ（偏微分係数）たちが存在するために\(p\)のあるネイバーフッド（近傍）上で存在しなければならないことに加え、デリバティブ（微分係数）マップ（写像）たちのコンティニュアス（連続）性を\(\{p\}\)からのマップ（写像）たちとして判断するのは意味がない、コンスタントマップ（写像）たちとして空虚にコンティニュアス（連続）であるから。
\(p\)においてのみコンティニュアス（連続）性を要求するより弱い定義もあり得る、それを私たちは採択しなかった、なぜなら、"\(p\)においてだけコンティニュアス（連続）"ケースを私たちは特に必要としていないから。
\(S\)は\(\mathbb{R}^{d_2}\)上でオープン（開）である必要はない、なぜなら、デリバティブ（微分係数）たちを取ることもコンティニュアス（連続）性を判断することも\(S\)がオープン（開）であることを要求しない。
\(k = \infty\)ケースに対する、本定義は、全ての\(k\)階パーシャルデリバティブ（偏微分係数）たちに対してある共通の\(U_p\)が存在するように要求している、その一方で、より弱い定義で、各\(k\)に対してある\(U_{p, k}\)が存在するように要求するものもあり得る、それは、少なくとも直接には私たちの定義とは異なる、なぜなら、\(\cap_k U_{p, k}\)はオープン（開）でないかもしれない、そうでないと証明されない限りは。
