バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のチャートインデュースト（誘導された）ベーシス（基底）ベクトルとは何であるかの記述
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の任意のチャートインデュースト（誘導された）ベーシス（基底）ベクトルとは何であるか の記述を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
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本体
1: 注
当該結論は、実のところ、かなり広く直感的に推測されるものだろう、しかし、これは、その推測が正しいことをもっと厳密に確かめることを目的としたものである。
2: 記述
（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)および任意のチャート\((U \subseteq M, \phi)\)に対して、\(p \in U\)におけるチャートインデュースト（誘導された）ベーシス（基底）ベクトル\(\partial / \partial x^j \vert_p\)とは何であるか？
本議論は、ふんだんに（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義に基づいている。
\(\partial / \partial x^j \vert_p\)は以下のように定義されている、つまり、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f: M \to \mathbb{R}\)に対して、\(\partial / \partial x^j \vert_p (f) = \partial (f \circ {\phi}^{-1})' / \partial x^j \vert_{\phi (p)}\)、ここで、\((f \circ {\phi}^{-1})': U'_{\phi (p)} \to \mathbb{R}\)は\(f \circ {\phi}^{-1}\)の以下を満たす任意の\(C^\infty\)エクステンション（拡張）、ここで、\(U'_{\phi (p)} \subseteq \mathbb{R}^d\)はオープン（開）、つまり、\((f \circ {\phi}^{-1})' \vert_{U'_{\phi (p)} \cap \phi (U)} = f \circ {\phi}^{-1} \vert_{U'_{\phi (p)} \cap \phi (U)}\)、である。
当該結果は、実際にはエクステンション（拡張）には依存しない、なぜなら、\(\phi (U) \subseteq \mathbb{H}^d\)は\(\mathbb{H}^d\)のあるオープンサブセット（開部分集合）であるが、\(\partial (f \circ {\phi}^{-1})' / \partial x^j \vert_{\phi (p)}\)は片方向デリバティブ（微分係数）（\(p\)がバウンダリー（境界）上にあり\(j = d\)である時）またはフルデリバティブ（微分係数）（その他の場合）\(\partial (f \circ {\phi}^{-1}) / \partial x^j \vert_{\phi (p)}\)に等しくなければならない。
\(\partial / \partial x^j \vert_p\)が本当にデリベイションであることを確認しよう。\(\partial / \partial x^j \vert_p (f g) = \partial ((f g) \circ {\phi}^{-1})' / \partial x^j \vert_{\phi (p)}\)。しかし、私たちは\(((f g) \circ {\phi}^{-1})' = (f \circ {\phi}^{-1})' (g \circ {\phi}^{-1})'\)と取ることができる、なぜなら、何らかの\(C^\infty\)エクステンション（拡張）たち\((f \circ {\phi}^{-1})': U'_{f, \phi (p)} \to \mathbb{R}\)および\((g \circ {\phi}^{-1})': U'_{g, \phi (p)} \to \mathbb{R}\)があるが、\((f \circ {\phi}^{-1})' \vert_{U'_{f, \phi (p)} \cap U'_{g, \phi (p)}} (g \circ {\phi}^{-1})' \vert_{U'_{f, \phi (p)} \cap U'_{g, \phi (p)}}: U'_{f, \phi (p)} \cap U'_{g, \phi (p)} \to \mathbb{R}\)は\(f g\)の\(C^\infty\)エクステンション（拡張）である。したがって、\(\partial ((f g) \circ {\phi}^{-1})' / \partial x^j \vert_{\phi (p)} = \partial ((f \circ {\phi}^{-1})' (g \circ {\phi}^{-1})') / \partial x^j \vert_{\phi (p)} = \partial (f \circ {\phi}^{-1})' / \partial x^j \vert_{\phi (p)} (g \circ {\phi}^{-1})' (\phi (p)) + (f \circ {\phi}^{-1})' (\phi (p)) \partial (g \circ {\phi}^{-1})' / \partial x^j \vert_{\phi (p)} = \partial / \partial x^j \vert_p (f) g (p) + f (p) \partial / \partial x^j \vert_p (g)\)。
\((\partial / \partial x^1 \vert_p, ..., \partial / \partial x^d \vert_p)\)はリニアリー（線形に）インディペンデント（独立）である、なぜなら、\(c_1 \partial / \partial x^1 \vert_p + ... + c_d \partial / \partial x^d \vert_p = 0\)に対して、\((c_1 \partial / \partial x^1 \vert_p + ... + c_d \partial / \partial x^d \vert_p) x^j = c_j = 0 x^j = 0\)。
