479: カーブのクローズドバウンダリーポイント（閉境界点）におけるベロシティーとは何であるか

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カーブのクローズドバウンダリーポイント（閉境界点）におけるベロシティーとは何であるかの記述

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 注
• 2: 記述

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のカーブの任意のクローズドバウンダリーポイント（閉境界点）におけるベロシティーとは何であるかの記述を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 注

当該結論は、実のところ、かなり広く直感的に推測されるものだろう、しかし、これは、その推測が正しいことをもっと厳密に確かめることを目的としたものである。

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2: 記述

（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$、任意の（半かもしれない）クローズドインターバル（閉区間）$J\subseteq \mathbb{R}$で任意のクローズドバウンダリーポイント（閉境界点）$t_j$を持つもの、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ$\gamma :J\to M$に対して、$\gamma$の$t_j$におけるベロシティー$d\gamma /dt{|}_{t_j}$とは何であるか？

本議論は、ふんだんにバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義に基づいている。

$J=[t_1,t_2)$または$[t_1,t_2]$、ここで、$t_1<t_2$（$[t_1,t_1]$ケースは考慮する価値がないだろう、なぜなら、ベロシティーは決定されないだろう）、そして、私たちは、$t_1$におけるベロシティーについて話そう。

$J$は、カノニカル（自然な）バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）であるとみなされる。

あるチャート$([t_1,t_3)\subseteq J,id)$、ここで、$t_3$が具体的に何であるかはどうでもよい、$t_1<t_3\le t_2$でありさえすれば、がある。

当該チャート上にて、$d/dt{|}_{t_1}$は、以下を満たす$T_{t_1}J$上のベクトルであると定義されている、つまり、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f:J\to \mathbb{R}$に対して、$d/dt{|}_{t_1}(f)=d{f}^{\prime }/dt{|}_{t_1}$、ここで、$f^{\prime }$は以下を満たす任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）（$f$のエクステンション（拡張）と呼ばれる）$f^{\prime }:U_{t_1}^{\prime }\to \mathbb{R}$、ここで、$U_{t_1}^{\prime }$は$t_1$の$\mathbb{R}$上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_1}^{\prime }\subseteq \mathbb{R}$、つまり、$f^{\prime }{|}_{U_{t_1}^{\prime }\cap J}=f{|}_{U_{t_1}^{\prime }\cap J}$。結果は実際には$f^{\prime }$の選択には依存しない、なぜなら、それは、$f$の片方向デリバティブ（微分係数）に一致しなければならない。それは、本当にデライベイション（微分）である、なぜなら、$d/dt{|}_{t_1}(fg):=d(fg{)}^{\prime }/dt{|}_{t_1}$であるが、$(fg{)}^{\prime }$は$f^{\prime }{g}^{\prime }$であると取ることができる、なぜなら、何らかのエクステンション（拡張）たち、$f$の$f^{\prime }:U_{f,t_1}^{\prime }\to \mathbb{R}$および$g$の$g^{\prime }:U_{g,t_1}^{\prime }\to \mathbb{R}$があるが、$f^{\prime }{|}_{U_{f,t_1}^{\prime }\cap U_{g,t_1}^{\prime }}{g}^{\prime }{|}_{U_{f,t_1}^{\prime }\cap U_{g,t_1}^{\prime }}$は$fg$のあるエクステンション（拡張）であり、したがって、$=d(f^{\prime }{g}^{\prime })/dt{|}_{t_1}=(d{f}^{\prime }/dt{g}^{\prime }){|}_{t_1}+(f^{\prime }d{g}^{\prime }/dt){|}_{t_1}=d{f}^{\prime }/dt{|}_{t_1}{g}^{\prime }(t_1)+f^{\prime }(t_1)d{g}^{\prime }/dt{|}_{t_1}=d/dt{|}_{t_1}(f)g(t_1)+f(t_1)d/dt{|}_{t_1}(g)$。

$d\gamma /dt{|}_{t_1}$は、$d\gamma {|}_{t_1}(d/dt{|}_{t_1})$、ここで、$d\gamma {|}_{t_j}$は$\gamma$の$t_j$におけるディファレンシャル、であると定義されている。

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f:M\to \mathbb{R}$に対して、$d\gamma /dt{|}_{t_1}(f)=(d\gamma {|}_{t_1}(d/dt{|}_{t_1}))(f)=d/dt{|}_{t_1}(f\circ \gamma )=d(f\circ \gamma {)}^{\prime }/dt{|}_{t_1}$、ここで、$(f\circ \gamma {)}^{\prime }$は$f\circ \gamma$のある$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）$(f\circ \gamma {)}^{\prime }:U_{t_1}\to \mathbb{R}$、である。

あるチャート$(U_{\gamma (t_1)}\subseteq M,{\varphi }_{\gamma (t_1)})$があり、$id\circ f\circ {{\varphi }_{\gamma (t_1)}}^{-1}=f\circ {{\varphi }_{\gamma (t_1)}}^{-1}:{\varphi }_{\gamma (t_1)}(U_{\gamma (t_1)})\to \mathbb{R}$ は${\varphi }_{\gamma (t_1)}(\gamma (t_1))$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、それが含意するのは、${\varphi }_{\gamma (t_1)}(\gamma (t_1))$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{{\varphi }_{\gamma (t_1)}(\gamma (t_1))}^{\prime }\subseteq {\mathbb{R}}^d$と$f\circ {{\varphi }_{\gamma (t_1)}}^{-1}$のある$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）$f^{\prime }:U_{{\varphi }_{\gamma (t_1)}(\gamma (t_1))}^{\prime }\to \mathbb{R}$があるということ。

$t_1$の周りに以下を満たすあるチャート$(U_{t_1}^{\prime }\subseteq J,id)$、つまり、$\gamma (U_{t_1}^{\prime })\subseteq U_{\gamma (t_1)}$で${\varphi }_{\gamma (t_1)}\circ \gamma \circ {id}^{-1}={\varphi }_{\gamma (t_1)}\circ \gamma :U_{t_1}^{\prime }\to {\varphi }_{\gamma (t_1)}(U_{\gamma (t_1)})$は$t_1$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、がある、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題によって、それが含意するのは、$t_1$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_1}^{″}\subseteq \mathbb{R}$と${\varphi }_{\gamma (t_1)}\circ \gamma$のある$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）${\gamma }^{\prime }:U_{t_1}^{″}\to {\mathbb{R}}^d$がある。

${\gamma }^{\prime }$は$t_1$においてコンティニュアス（連続）であるので、$t_1$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_1}^{‴}\subseteq U_{t_1}^{″}$、つまり、${\gamma }^{\prime }(U_{t_1}^{‴})\subseteq U_{{\varphi }_{\gamma (t_1)}(\gamma (t_1))}^{\prime }$、があり、${\gamma }^{\prime }$を$U_{t_1}^{‴}$からのものとして取ろう。すると、$f^{\prime }\circ {\gamma }^{\prime }:U_{t_1}^{‴}\to \mathbb{R}$は$f\circ \gamma$の$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）である、なぜなら、$f^{\prime }\circ {\gamma }^{\prime }{|}_{U_{t_1}^{‴}\cap J}=f^{\prime }\circ {\varphi }_{\gamma (t_1)}\circ \gamma {|}_{U_{t_1}^{‴}\cap J}=f\circ {{\varphi }_{\gamma (t_1)}}^{-1}\circ {\varphi }_{\gamma (t_1)}\circ \gamma {|}_{U_{t_1}^{‴}\cap J}=f\circ \gamma {|}_{U_{t_1}^{‴}\cap J}$、その一方で、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$である、$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として。したがって、$(f\circ \gamma {)}^{\prime }$は$f^{\prime }\circ {\gamma }^{\prime }$であると取ることができる。

したがって、$d\gamma /dt{|}_{t_1}(f)=d(f^{\prime }\circ {\gamma }^{\prime })/dt{|}_{t_1}=\partial f^{\prime }/\partial x^k{|}_{{\gamma }^{\prime }(t_1)}d{\gamma }^{\prime k}/dt{|}_{t_1}$、ここで、$k$は$U_{{\varphi }_{\gamma (t_1)}(\gamma (t_1))}^{\prime }$上における$k$番目コンポーネントを表わす。

結果の表現はエクステンション（拡張）たち$f^{\prime }$および${\gamma }^{\prime }$を含んでいるが、それは実際にはエクステンション（拡張）たちに依存しない、なぜなら、$d{\gamma }^{\prime k}/dt{|}_{t_1}$は片方向デリバティブ（微分係数）$d({\varphi }_{\gamma (t_1)}\circ \gamma {)}^k/dt{|}_{t_1}$に等しくなければならず、$\partial f^{\prime }/\partial x^k{|}_{{\gamma }^{\prime }(t_1)}$は片方向デリバティブ（微分係数）（$\gamma (t_1)$は$M$のバウンダリー（境界）上にあり$k=d$である時）または通常のデリバティブ（微分係数）（その他の場合）$\partial (f\circ {{\varphi }_{\gamma (t_1)}}^{-1})/\partial x^k{|}_{{\varphi }_{\gamma (t_1)}(\gamma (t_1))}$に等しくなければならない。

したがって、結局のところ、$d\gamma /dt{|}_{t_1}(f)=\partial (f\circ {{\varphi }_{\gamma (t_1)}}^{-1})/\partial x^k{|}_{{\varphi }_{\gamma (t_1)}(\gamma (t_1))}d({\varphi }_{\gamma (t_1)}\circ \gamma {)}^k/dt{|}_{t_1}$、必要な片方向またはフルデリバティブ（微分係数）たちでもって。

同様に、$J=(t_1,t_2]$または$[t_1,t_2]$、ここで、$t_1<t_2$（$[t_2,t_2]$ケースは考慮に値しないだろう）、と仮定しよう、そして、私たちは、$t_2$におけるベロシティーについて考えよう。

$J$はカノニカル（自然な）バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）であるとみなされる。

チャート$((t_3,t_2]\subseteq J,id)$がある。

平行な議論は省略して（$t_1$を$t_2$で置き換える）、$d\gamma /dt{|}_{t_2}(f)=d(f^{\prime }\circ {\gamma }^{\prime })/dt{|}_{t_2}=\partial f^{\prime }/\partial x^k{|}_{{\gamma }^{\prime }(t_2)}d{\gamma }^{\prime k}/dt{|}_{t_2}=\partial (f\circ {{\varphi }_{\gamma (t_2)}}^{-1})/\partial x^k{|}_{{\varphi }_{\gamma (t_2)}(\gamma (t_2))}d({\varphi }_{\gamma (t_2)}\circ \gamma {)}^k/dt{|}_{t_2}$、ここで、$k$は$U_{{\varphi }_{\gamma (t_2)}(\gamma (t_2))}^{\prime }$上における$k$番目コンポーネントを表わし、必要な片方向またはフルデリバティブ（微分係数）たちを取る。

さらに、$\partial (f\circ {{\varphi }_{\gamma (t_j)}}^{-1})/\partial x^k{|}_{{\varphi }_{\gamma (t_j)}(\gamma (t_j))}=\partial /\partial x^k{|}_{\gamma (t_j)}(f)$であるから、必要な片方向またはフルデリバティブ（微分係数）を取った$d({\varphi }_{\gamma (t_j)}\circ \gamma {)}^k/dt{|}_{t_j}$が、$d\gamma /dt{|}_{t_j}$の、チャート$(U_{\gamma (t_1)}\subseteq M,{\varphi }_{\gamma (t_1)})$によってインデュースト（誘導された）タンジェントベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に関する$k$番目コンポーネントである。

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参考資料

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