481: ローカルにトポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）

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ローカルにトポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
• 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ローカルにトポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{H}}^d=\{(x^1,...,x^d)\in {\mathbb{R}}^d|0\le x^d\}\subseteq {\mathbb{R}}^d$に対して、以下を満たす任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、つまり、その各ポイント$p\in T$において、$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T$およびあるポイント$q\in {\mathbb{H}}^d$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_q\subseteq {\mathbb{H}}^d$があり、あるホメオモーフィズム（位相同形写像）$f:U_p\to U_q$がある

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2: 注

"トポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）"という表現は冗長に思えるかもしれないが、厳密に言うとそうではない、なぜなら、'リーマニアンにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）'は可能である、なぜなら、任意のバウンダリー付きリーマニアンマニフォールド（多様体）はトポロジカルスペース（空間）であり、'トポロジカルにだけクローズド（閉）上半面ユークリディアンバウンダリー（境界）付きリーマニアンマニフォールド（多様体）'も勿論可能である。

別の定義は、任意のオープン（開）$U_q\subseteq {\mathbb{R}}^d$も許すかもしれない、しかし、その定義は実のところ本定義と等価である、なぜなら、もしも、そうしたある$U_q$が存在すれば、あるオープン$U_{q^{\prime }}^{\prime }\subseteq int{\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d$で$U_q$にホメオモーフィック（位相同形写像）なものがあり、$U_p$は$U_{q^{\prime }}^{\prime }$へホメオモーフィック（位相同形写像）である; もしも、あるオープン（開）$U_q\subseteq int{\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d$が存在すれば、$U_q$は別定義で規定された${\mathbb{R}}^d$のあるオープンセット（開集合）である。

オープンボール（開球）$B_{0,ϵ}$（${\mathbb{H}}^d$に包含されていない）のようなチャートオープンサブセット（開部分集合）を許すか否かは別の話である: 本定義はそうしたチャートオープンサブセット（開部分集合）を許すことを妨げない一方、許さないことは何らの問題でもない、私たちは、単に便宜上許すのであるが。

あるローカルにトポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ローカルにトポロジカルにユークリディアントポロジカルスペース（空間）であるかもしれない、なぜなら、各$U_q\subseteq {\mathbb{H}}^d$が偶然$int{\mathbb{H}}^d$内に包含されているかもしれなく、したがって、${\mathbb{R}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）であるかもしれない。

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参考資料

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