ローカルにトポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ローカルにトポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{H}^d = \{(x^1, ..., x^d) \in \mathbb{R}^d \vert 0 \le x^d\} \subseteq \mathbb{R}^d\)に対して、以下を満たす任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、つまり、その各ポイント\(p \in T\)において、\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T\)およびあるポイント\(q \in \mathbb{H}^d\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_q \subseteq \mathbb{H}^d\)があり、あるホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: U_p \to U_q\)がある
2: 注
"トポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）"という表現は冗長に思えるかもしれないが、厳密に言うとそうではない、なぜなら、'リーマニアンにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）'は可能である、なぜなら、任意のバウンダリー付きリーマニアンマニフォールド（多様体）はトポロジカルスペース（空間）であり、'トポロジカルにだけクローズド（閉）上半面ユークリディアンバウンダリー（境界）付きリーマニアンマニフォールド（多様体）'も勿論可能である。
別の定義は、任意のオープン（開）\(U_q \subseteq \mathbb{R}^d\)も許すかもしれない、しかし、その定義は実のところ本定義と等価である、なぜなら、もしも、そうしたある\(U_q\)が存在すれば、あるオープン\(U'_{q'} \subseteq int \mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d\)で\(U_q\)にホメオモーフィック（位相同形写像）なものがあり、\(U_p\)は\(U'_{q'}\)へホメオモーフィック（位相同形写像）である; もしも、あるオープン（開）\(U_q \subseteq int \mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d\)が存在すれば、\(U_q\)は別定義で規定された\(\mathbb{R}^d\)のあるオープンセット（開集合）である。
オープンボール（開球）\(B_{0, \epsilon}\)（\(\mathbb{H}^d\)に包含されていない）のようなチャートオープンサブセット（開部分集合）を許すか否かは別の話である: 本定義はそうしたチャートオープンサブセット（開部分集合）を許すことを妨げない一方、許さないことは何らの問題でもない、私たちは、単に便宜上許すのであるが。
あるローカルにトポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ローカルにトポロジカルにユークリディアントポロジカルスペース（空間）であるかもしれない、なぜなら、各\(U_q \subseteq \mathbb{H}^d\)が偶然\(int \mathbb{H}^d\)内に包含されているかもしれなく、したがって、\(\mathbb{R}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）であるかもしれない。
